Суперсовершенное число — натуральное число n , такое, что:

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,}$

где σ является суммой делителей числа n . Несмотря на название, суперсовершенные числа не являются обобщением совершенных чисел . Термин был придуман Д. Сурьянараяной в 1969 году .

Суперсовершенные числа образуют последовательность: 2 , 4 , 16 , 64 , , 65 536 , 262 144, … (последовательность в OEIS ).

Все чётные суперсовершенные числа имеют вид ${\displaystyle 2^{p}}$ , где ${\displaystyle 2^{p+1}-1}$ — простое число Мерсенна .

Неизвестно, существуют ли нечётные суперсовершенные числа. В 2000 году Хансакер и Померанс доказали, что не существует нечётных суперсовершенных чисел, меньших, чем ${\displaystyle 7\times 10^{24}}$ .

Обобщения

Совершенные и суперсовершенные числа являются простейшими примерами широкого класса m -суперсовершенных чисел, которые удовлетворяют:

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=2n,}$

при m =1 и 2 соответственно .

m -суперсовершенные числа в свою очередь являются частным случаем ( m , k )-совершенных чисел, которые удовлетворяют :

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn,}$ .

В этих обозначениях, совершенные числа — (1,2)-совершенные числа, мультисовершенные числа — (1, k )-совершенные числа, суперсовершенные числа — (2,2)-суперсовершенные числа и m -суперсовершенные числа — ( m ,2)-совершенные числа.

Примеры классов ( m , k )-совершенных чисел:

m	k	( m , k )-совершенные числа	OEIS
2	3	8, 21, 512
2	4	15, 1023, 29127
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024
2	7	24, 1536, 47360, 343976
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296
2	11	4404480, 57669920, 238608384
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120
3	любой	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, …
4	любой	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, …

Примечания

Литература

• Cohen, G. L. and te Riele, J. J. «Iterating the Sum-of-Divisors Function.» Experim. Math. 5, 93-100, 1996.
• Guy, R. K. «Superperfect Numbers.» §B9 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 65-66, 1994.
• Kanold, H.-J. "Über 'Super Perfect Numbers.' " Elem. Math. 24, 61-62, 1969.
• Lord, G. «Even Perfect and Superperfect Numbers.» Elem. Math. 30, 87-88, 1975.
• Sloane, N. J. A. Sequence in « The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences .»
• Suryanarayana, D. «Super Perfect Numbers.» Elem. Math. 24, 16-17, 1969.
• Suryanarayana, D. «There Is No Odd Super Perfect Number of the Form p^(2alpha).» Elem. Math. 24, 148—150, 1973.