Тетра́ция ( гиперопера́тор-4 ) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень . Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация» , состоящий из слов « тетра- » (четыре) и « итерация » (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году .

Определения

Тетрация как степенная башня

Для любого положительного вещественного числа ${\displaystyle a>0}$ и неотрицательного целого числа ${\displaystyle n\geqslant 0}$ , тетрацию ${\displaystyle {}^{n}a}$ можно определить рекуррентно:

• ${\displaystyle {}^{0}a=1,}$
• ${\displaystyle {}^{n}a=a^{({}^{n-1}a)},\,n>0.}$

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

${\displaystyle {}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536.}$

Или:

${\displaystyle {}^{5}2=2^{2^{2^{2^{2}}}}=2^{\left(2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}\right)}=2^{(2^{16})}=2^{65536}.}$

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией , то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}\neq \left((2^{2})^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=2^{8}=256.}$

Или:

${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2}}}}\neq \left(((2^{2})^{2})^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=2^{16}=65536.}$

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху вниз (или справа налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией :

1. сложение :

   ${\displaystyle a+b=a+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{b};}$

2. умножение :

   ${\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{b};}$

3. возведение в степень :

   ${\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times a\times \ldots \times a} _{b};}$

4. тетрация:

   ${\displaystyle {^{b}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{b}.}$

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства

• Тетрация не считается элементарной функцией (за исключением случаев с постоянным натуральным показателем, когда тетрация выражается в виде степенной башни постоянной высоты).
• В силу некоммутативности тетрация имеет две обратных операции — суперлогарифм и суперкорень (аналогично тому, как возведение в степень имеет две обратные функции: арифметический корень и логарифм ).

Для тетрации в общем случае неверны следующие характерные для предыдущих операторов свойства:

• ${\displaystyle {}^{b}({}^{c}a)\neq {}^{c}({}^{b}a)}$ , например: ${\displaystyle {}^{3}({}^{2}2)=({}^{2}2)^{({}^{2}2)^{({}^{2}2)}}=4^{4^{4}}=4^{256}}$ , но ${\displaystyle {}^{2}({}^{3}2)=({}^{3}2)^{({}^{3}2)}=16^{16}=4^{32}}$ .
• ${\displaystyle {}^{b+c}a}$ не равно ни ${\displaystyle {}^{b}a+{}^{c}a}$ , ни ${\displaystyle {}^{b}a\times {}^{c}a}$ , например: ${\displaystyle {}^{1+2}3={}^{3}3=3^{27}\neq {}^{1}3+{}^{2}3\neq {}^{1}3\times {}^{2}3}$ , так как ${\displaystyle {}^{1}3+{}^{2}3=30;{}^{1}3\times {}^{2}3=81}$ .

Примечание: однако, верно ${\displaystyle \underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a}}}}} _{b}{({}^{b+c}a)}={}^{c}a}$ или ${\displaystyle \underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a}}}}} _{c}{({}^{b+c}a)}={}^{b}a}$ .

• Тетрация минус единицы равна минус единице:

${\displaystyle {^{n}(-1)}=\underbrace {(-1)^{(-1)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{(-1)}}}}}} _{n}=-1,n>0}$

Терминология

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

• Термин «тетрация» , использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна , используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе ( англ. Rudy Rucker ) « » .
• Термин «супервозведение в степень» ( англ. superexponentiation ) был опубликован Бромером ( англ. Bromer ) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году. Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном ( англ. Ed Nelson ) в его книге «Предикативная Арифметика» ( англ. «Predicative Arithmetic» ) .
• Термин «гиперстепень» ( англ. hyperpower ) есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень» , который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров . Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
• Термин «степенная башня» ( англ. power tower ) иногда используется, в форме «степенная башня порядка ${\displaystyle n}$ » для ${\displaystyle \underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{n}}$ .

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма	Терминология
${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$	Тетрация
${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}}$	Итерационные экспоненты
${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}}}$	Вложенные экспоненты (также башни)
${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$	Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях ${\displaystyle a}$ есть основание , и количество появляющихся ${\displaystyle a}$ есть высота . В третьем выражении, ${\displaystyle n}$ есть высота , но все основания разные.

Обозначения

Системы записи, в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций), включают в себя:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	${\displaystyle {}^{n}a}$	Использована Мауером ( Maurer ) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind» .
Стрелочная нотация Кнута	${\displaystyle a{\uparrow \uparrow }n}$	Позволяет удлинение путём добавления добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея	${\displaystyle a\to n\to 2}$	Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана	${\displaystyle {}^{n}2=\mathrm {A} (4,\;n-3)+3}$	Допускает особый случай ${\displaystyle a=2}$ в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи	${\displaystyle {}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)}$	Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения ( англ. Hooshmand )	${\displaystyle \mathrm {uxp} _{a}n,\quad a^{\frac {n}{}}}$
Система записи гипероператорами	${\displaystyle a^{(4)}n,\quad \mathrm {hyper} _{4}(a,\;n)}$	Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров .
Система записи ASCII	a^^n	Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки ( ^ ), оператор тетрация может быть записан в виде ( ^^ ).
Нотация массивов /	{a, b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}} _{n}.}$

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}$	Система записи ${\displaystyle \exp _{a}(x)=a^{x}}$ и итерационная система записи ${\displaystyle f^{n}(x)}$ была введена Эйлером .
Стрелочная нотация Кнута	${\displaystyle (a{\uparrow })^{n}(x)}$	Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация	E(a)x#n
Система записи ( англ. Ioannis Galidakis )	${\displaystyle {}^{n}(a,\;x)}$	Допускает использование больших выражений в основании.
ASCII (добавочный)	a^^n@x	Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация .
ASCII (стандартный)	exp_a^n(x)	Основана на стандартной форме записи.

Примеры

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными. Например, четвёртая тетрация от 3 (то есть ${\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}}$ ) начинается цифрами 1258, заканчивается цифрами 39387 и имеет 3638334640025 цифр, последовательность в OEIS .

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {}^{2}x}$	${\displaystyle {}^{3}x}$	${\displaystyle {}^{4}x}$
1	1	1	1
2	4	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(1{,}09902)}$
4	256	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(2{,}18788)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(2{,}18726)}$
5	3 125	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(3{,}33931)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(3{,}33928)}$
6	46 656	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(4{,}55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(4{,}55997)}$
7	823 543	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(5{,}84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(5{,}84259)}$
8	16 777 216	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(7{,}18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(7{,}18045)}$
9	387 420 489	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(8{,}56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(8{,}56784)}$
10	10 000 000 000	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1)}$

Открытые проблемы

• Неизвестно, может ли ${\displaystyle {^{n}q}}$ быть рациональным числом , если ${\displaystyle n}$ — целое число, большее 3, а ${\displaystyle q}$ — рациональное, но не целое число (для ${\displaystyle n=2,\,3}$ ответ отрицателен) .
• Ни для какого целого ${\displaystyle n>3}$ неизвестно, является ли положительный корень уравнения ${\displaystyle {^{n}x}=2}$ рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом .

Примечания

Ссылки

• .
• .
• .
• Кузнецов Д. // Владикавказский математический журнал. — 2010.