Во́лны Ля́ва — упругая волна с горизонтальной поляризацией. Может быть как объёмной, так и поверхностной . Названа в честь английского математика Огастеса Эдварда Хафа Лява ( англ. Augustus Edward Hough Love ), исследовавшего этот тип волн в приложении к сейсмологии в 1911 году .

Описание

Волны Лява имеют горизонтальную поляризацию; именно, в однородной изотропной среде смещение частиц в этой волне перпендикулярно вектору скорости. Если сагиттальную плоскость задать в плоскости ( x , z ) с осью z , направленной вглубь материала, то они описываются плоской волной с частотой ω вида

${\displaystyle U_{y}=A{\textrm {exp}}[i(k_{t}x-\omega t)],}$

где k _t — волновое число, A — амплитуда. Это объёмное решение обычно не представляет интереса. Если полупространство, заполненное однородной изотропной средой, покрыто тонким слоем материала со скоростью звука меньшей, чем в объёме, то возникает поверхностная волна с затухающей амплитудой .

Изотропная среда

В случае изотропной, однородной и идеально упругой среды, заполняющей полупространство z >0, с плотностью ρ _i , уравнение движения для смещений U можно записать в виде

${\displaystyle \rho _{i}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}^{i}}{\partial t^{2}}}=\mu _{i}\Delta {\textbf {U}}^{i},}$

(1)

где для поперечной волны U =(0,U _y ,0), индекс i пробегает значения 1 и 2 для тонкого слоя материала толщиной h и для объёмного материала, заполняющего пространство; z > h .

Полное решение этого уравнения задаётся в виде

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=(B\sin {s_{1}z}+C\cos {s_{1}z})\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

(2.1)

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\exp {(-s_{2}z)}\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

(2.2)

где ${\displaystyle s_{1}={\sqrt {k_{t1}^{2}-k^{2}}}}$ , ${\displaystyle s_{2}={\sqrt {k^{2}-k_{t2}^{2}}}}$ . Из граничных условий отсутствия напряжений на границе двух сред и непрерывности касательных смещений напряжений на поверхности можно получить систему линейных однородных уравнений для амплитуд A , B , C , которая имеет нетривиальное решение при равенстве определителя системы нулю :

${\displaystyle \tan {s_{1}h}={\frac {\mu _{2}s_{2}}{\mu _{1}s_{1}}},}$

(3)

которое имеет множество решений. Амплитуды смещений описываются выражением:

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=A\cos {s_{1}(z+h)}\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

(4.1)

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\cos {s_{1}h}\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]}.}$

(4.2)

Когда скорость звука в поверхностном слое меньше, чем в объёме, то уравнение ( ) имеет действительные решения, лежащие в области ${\displaystyle k_{t1}>k>k_{t2}}$ . Этих корней тем больше, чем больше произведение ${\displaystyle k_{t2}h}$ . В пределе малой толщины ${\displaystyle k_{t2}h\rightarrow 0}$ существует только одна волна Лява :

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=A\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

(5.1)

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]},}$

(5.2)

${\displaystyle k=k_{t2}\left[1+{\frac {1}{2}}k_{t2}^{2}h^{2}{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)\right],}$

(5.3)

${\displaystyle s_{2}=k_{t2}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)k_{t2}h{\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}.}$

(5.4)

Примечания

Литература

• Викторов И. А. . Звуковые поверхностные волны в твёрдых телах. — М. : Наука , 1981. — 287 с.
• Парийский Н. Н. , Перцев Б. П. Об определении числа Лява по приливным изменениям вращения сжимаемой Земли // Изв. АН СССР. Физика Земли. — 1972. — № 3 . — С. 11—14 .