Хаусдорфово пространство — топологическое пространство , удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T ₂ .

Названо в честь Феликса Хаусдорфа — одного из основоположников общей топологии . Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью.

Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология .

Определение

Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называется хаусдорфовым, если любые две различные точки ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ из ${\displaystyle X}$ обладают непересекающимися окрестностями ${\displaystyle U(x)}$ , ${\displaystyle V(y)}$ .

Примеры и контрпримеры

Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства , в частности: евклидовы пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , многообразия , большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких, как ${\displaystyle L^{p}\ }$ или ${\displaystyle W^{1,\;p}}$ , ${\displaystyle p\geqslant 1\ }$ .

Если топологическая группа является T ₀ -пространством , то она хаусдорфова. Если T ₀ не выполнено, то факторизация по замыканию нейтрального элемента группы даст хаусдорфово пространство . По этой причине некоторые источники включают хаусдорфовость в определение топологической группы.

Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие , а в более общем случае — . Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии. Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца .

Свойства

• Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра ), если таковой предел существует.
• Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали ${\displaystyle \Delta =\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}}$ в декартовом квадрате ${\displaystyle X\times X}$ пространства ${\displaystyle X}$ .
• В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
• Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
• Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам .
• Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счётную базу топологии.
• Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом .
• Любое конечное хаусдорфово пространство дискретно.

Примечания

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — 2-е, стереотипное. — М. : Лань, 2010. — 368 с. — ISBN 978-5-8114-0981-5 .