Interested Article - Ковариантный вектор

В линейной алгебре ковариантный вектор на векторном пространстве — это то же самое, что и линейная форма (линейный функционал) на этом пространстве.

В дифференциальной геометрии ковариантный вектор на дифференцируемом многообразии — это гладкое сечение кокасательного расслоения. Эквивалентно, ковариантный вектор на многообразии M — это гладкое отображение тотального пространства касательного расслоения M в R , ограничение которого на каждый слой — это линейный функционал на касательном пространстве. Это запишется так:

где α x линейно.

Ко- и контравариантные векторы в пространствах (на многообразиях) с невырожденной метрикой

Далее подразумевается, что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют), задана невырожденная метрика.

Соответствие между векторами и ковекторами

Если определён невырожденный метрический тензор , то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора . То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) или контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором :

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Различие между векторами и ковекторами

Содержательно векторы и ковекторы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов — например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свёртка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам ) естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр получается (как полный дифференциал ) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора , являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором , являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой свёртывается с помощью метрики: , что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идёт об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности/контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения , являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы (1-формы); в противном случае (свёртка требует участия метрики) это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для ковектора же — ковариантное.

См. также

Литература

  • Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М. : Наука , 1988. — 512 с. — (« Теоретическая физика », том II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Источник —

Same as Ковариантный вектор