Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5 . Это иррациональное и алгебраическое число .

Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков .

Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:

${\displaystyle {\color {OliveGreen}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {OliveGreen}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {OliveGreen}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {OliveGreen}{\frac {2889}{1292}}},\dots }$

Через бесконечный вложенный радикал: ${\displaystyle {\sqrt {5}}={\sqrt {\sqrt {20+{\sqrt {20+{\sqrt {20+...}}}}}}}\dots }$

Вавилонский метод

Вычисление корня из ${\displaystyle 5}$ , начиная с ${\displaystyle r_{0}=2}$ , где ${\displaystyle r_{n+1}={\frac {r_{n}+{\tfrac {5}{r_{n}}}}{2}}}$ :

${\displaystyle {\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {9}{4}}=2.25,\quad {\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots }$

Золотое сечение

Золотое сечение ${\displaystyle \Phi }$ — среднее арифметическое 1 и корня из 5 . ( ${\displaystyle \varphi =1/\Phi }$ ) алгебраически можно выразить так:

${\displaystyle {\sqrt {5}}=\varphi +\Phi =2\varphi +1=2\Phi -1}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$

${\displaystyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}.}$

Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:

${\displaystyle F\left(n\right)={{\Phi ^{n}-(1-\Phi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}.}$

Отношение √5 к ${\displaystyle \Phi }$ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка :

${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{\Phi }}=\varphi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}=1.3819660112501051518\dots =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}$

${\displaystyle {\frac {\Phi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\varphi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}=0.72360679774997896964\dots =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].}$

${\displaystyle {1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\dots \dots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}$

${\displaystyle {1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].}$

Алгебра

Кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[\,{\sqrt {-5}}\,\right]}$ содержит числа вида ${\displaystyle a\,+\,b{\sqrt {-5}}}$ , где a и b целые числа и ${\displaystyle {\sqrt {-5}}=i{\sqrt {5}}}$ — мнимое число . Это кольцо является примером области целостности , не являющейся факториальным кольцом .

Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).}$

Поле ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[\,{\sqrt {5}}\,\right]}$ — абелево расширение рациональных чисел.

Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы :

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.}$

Тождества Рамануджана

Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями .

Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right)e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.}$

${\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

Доказательство иррациональности

Докажем, что число ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ — иррациональное число. Докажем от противного. Допустим, что число ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ можно представить в виде несократимой дроби ${\displaystyle {\frac {n}{m}}}$ , где ${\displaystyle m}$ — целое число, а ${\displaystyle n}$ — натуральное:

${\displaystyle {\sqrt {5}}={\frac {n}{m}}\Rightarrow 5={\frac {n^{2}}{m^{2}}}\Rightarrow 5m^{2}=n^{2}}$

${\displaystyle n^{2}}$ делится на ${\displaystyle 5}$ , значит, ${\displaystyle n}$ тоже делится на ${\displaystyle 5}$ ; следовательно, ${\displaystyle n^{2}}$ делится на ${\displaystyle 25}$ , а значит, ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle m^{2}}$ делится на ${\displaystyle 5}$ . То есть, дробь можно сократить, а это противоречит изначальному утверждению. Значит, исходное утверждение было неверным, и ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ — иррациональное число.

См. также

• Квадратный корень из 2
• Квадратный корень из 3

Примечания

Ссылки

• (недоступная ссылка) (англ.)
• от 18 марта 2020 на Wayback Machine at MathWorld