Формула тангенса половинного угла — тригонометрическая формула, связывающая тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла:

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}=(-1)^{k}{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }},}$

где ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ и определяется из условия ${\displaystyle k\pi \leq \theta \leq (k+1)\pi }$ .

С этой формулой связаны также следующие соотношения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}\ &={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }},\\[10pt]\operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\operatorname {tg} \theta ={\frac {1+\operatorname {tg} (\theta /2)}{1-\operatorname {tg} (\theta /2)}}=(-1)^{k}{\sqrt {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}},\\[10pt]\mathrm {ctg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta -\operatorname {tg} \theta ={\frac {1-\operatorname {tg} (\theta /2)}{1+\operatorname {tg} (\theta /2)}}=(-1)^{k}{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}.\end{aligned}}}$

В последних двух выражениях ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ и определяется из условия ${\displaystyle \left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi \leq \theta \leq \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\pi }$ .

При ${\displaystyle \theta \in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$ имеем: ${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatorname {tg} \theta }{1+{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}}}.}$

Геометрическое доказательство

Универсальная тригонометрическая подстановка

В различных приложениях полезно записывать тригонометрические функции (такие как синус и косинус ) через рациональные функции новой переменной t , равной тангенсу половинного угла. Эти тождества полезны при вычислении первообразных .

Существование формулы тангенса половинного угла основано на том факте, что окружность является алгебраической кривой порядка 2. Поэтому можно ожидать, что 'круговые функции' могут быть сведены к рациональным функциям.

Геометрические построения выглядят следующим образом: на тригонометрическом круге для любой точки, имеющей координаты (cos φ, sin φ), проведём прямую, проходящую через круг и точку с координатами (−1,0). Эта прямая пересекает ось ординат (ось y ) в некоторой точке с координатой y = t . Путём простых геометрических построений можно показать, что t = tg(φ/2). Уравнение проведённой прямой таково y = (1 + x ) t . Уравнение для определения точек пересечения указанной прямой и окружности представляет собой квадратное уравнение относительно t . Два решения этого уравнения — это (−1, 0) и (cos φ, sin φ). Это позволяет нам записать (cos φ, sin φ) как рациональные функции от t (решения даны ниже).

Заметим также, что параметр t стереографическую проекцию точки (cos φ, sin φ) на ось y с центром проекции, расположенным в точке (−1,0). Поэтому формула тангенса половинного угла даёт нам переход от стереографической координаты t к тригонометрическому кругу и стандартной угловой координате φ.

Имеем

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}$		${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}},}$		${\displaystyle \operatorname {ctg} \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},}$
${\displaystyle \sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},}$		${\displaystyle \csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},}$

и

${\displaystyle e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},}$

${\displaystyle e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}.}$

Из этих формул можно выразить арктангенс через натуральный логарифм

${\displaystyle \operatorname {arctg} (t)={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.}$

При нахождении первообразных от функций, содержащих sin( φ ) и cos( φ ), подстановка Вейерштрасса выглядит следующим образом. Принимая

${\displaystyle t=\operatorname {tg} {\tfrac {1}{2}}\varphi .}$

получаем

${\displaystyle \varphi =2\operatorname {arctg} (t),}$

и следовательно

${\displaystyle d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}.}$

Гиперболические тождества

Можно получить полностью аналогичные выводы для гиперболических функций . Точка на гиперболе (на её правой ветви) определяется координатами (ch θ , sh θ ). Проецируя её на ось y из центра (−1, 0), получаем следующее:

${\displaystyle t=\operatorname {th} {\frac {1}{2}}\theta ={\frac {\operatorname {sh} \theta }{\operatorname {ch} \theta +1}}={\frac {\operatorname {ch} \theta -1}{\operatorname {sh} \theta }}}$

и тогда тождества для гиперболических функций таковы

${\displaystyle \operatorname {ch} \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},}$		${\displaystyle \operatorname {sh} \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},}$
${\displaystyle \operatorname {th} \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},}$		${\displaystyle \operatorname {cth} \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t}},}$
${\displaystyle \mathrm {sech} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}$		${\displaystyle \mathrm {csch} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{2t}},}$

и

${\displaystyle e^{\theta }={\frac {1+t}{1-t}},}$

${\displaystyle e^{-\theta }={\frac {1-t}{1+t}}.}$

Использование этих подстановок для нахождения первообразных было представлено Карлом Вейерштрассом .

Выражение θ через t приводит к следующим соотношениям между гиперболическим арктангенсом и натуральным логарифмом:

${\displaystyle \operatorname {arth} (t)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+t}{1-t}}.}$

См. также

• Тригонометрические тождества
• Формула половины стороны
• Стереографическая проекция
• Функция Гудермана

Ссылки

• на Planetmath