Interested Article - Константа Майсселя — Мертенса

В пределе сумма обратных значений простых чисел, меньших n , и функция ln(ln n ) отличаются на константу, константу Майсселя — Мертенса (помечена буквой M).

Константа Майсселя — Мертенса — это математическая константа в теории чисел , определяемая как предел разности между гармоническим рядом , суммируемым только по простым числам , и натуральным логарифмом натурального логарифма:

M=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln n)\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \!\left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right].

График гармонической суммы простых чисел для $n=2^{15},2^{16},\ldots ,2^{46}\approx 7.04\times 10^{13}$ и приближение Мертенса для неё. График имеет по оси y длину 8 см и представляет интервал (2.5, 3.8). Если бы ось n была представлена в линейной шкале, а не в логарифмической, то она была бы длиной $5.33(3)\times 10^{9}$ км — размер Солнечной системы.

Здесь γ — постоянная Эйлера — Маскерони , которая имеет аналогичное определение для суммы по всем целым числам (не только по простым).

Константа названа именами Эрнста Майсселя и Франца Мертенса. Она упоминается также как константа Мертенса , константа Кронекера , константа Адамара — Валле-Пуссена или константа обратных значений простых чисел .

Значение M равно примерно

M ≈ 0,2614972128476427837554268386086958590516… (последовательность в OEIS ).

устанавливает, что предел существует.

Факт, что имеется два логарифма (логарифм от логарифма) в пределе для константы Майсселя — Мертенса, можно рассматривать как следствие комбинации теоремы о распределении простых чисел и предела постоянной Эйлера — Маскерони.

В популярной культуре

Константу Майсселя — Мертенса использовала компания Google для предложения цены на аукционе патента Nortel . Google выставил три предложения цены, основанных на математических константах — $1.902.160.540 ( константа Бруна ), $2.614.972.128 (константа Майсселя — Мертенса) и $3,14159 миллиарда ( π ) .