Interested Article - Константа де Брёйна — Ньюмана

Константа де Брёйна — Ньюмана математическая константа , обозначаемая Λ. Названа в честь Николаса Говерта де Брёйна и Чарльза М. Ньюмана.

Описание

Рассмотрим кси-функцию Римана:

.

Выражение может быть представлено в виде преобразования Фурье :

для . Тогда обозначим преобразование Фурье как :

.

Константа определяется через нули функции H(λ, z). Она имеет вещественные нули тогда и только тогда, когда λ ≥ Λ. Константа тесно связана с гипотезой Римана относительно нулей дзета-функции Римана .

Значение

Де Брёйн показал в 1950 году, что H имеет только вещественные нули при λ > 1/2, а кроме этого, что если H имеет только вещественные нули при некотором λ, то H также имеет только вещественные нули и при бо́льших значениях λ. Указанная де Брёйном верхняя граница Λ ≤ 1/2 не была доказана вплоть до 2008 года, когда Haseo Ki, Young-One Kim и Jungseob Lee доказали , что Λ < 1/2, сделав доказательство строгим .

В декабре 2018 года проектом верхняя граница константы Λ была улучшена до 0,22 .

По состоянию на апрель 2020 года, лучшая верхняя граница константы Λ ≤ 0,2 .

Серьёзные расчёты по нахождению нижней границы производились с 1988 года и продолжаются до сих пор (по состоянию на 2018 год):

Год Нижняя граница Λ
1988 −50
1991 −5
1990 −0.385
1994 −4.379×10 −6
1993 −5.895×10 −9
2000 −2.7×10 −9
2011 −1.1×10 −11
2018 ≥ 0

Так как является преобразованием Фурье , то H имеет представление Винера-Хопфа:

,

которое действует только для неотрицательных значений λ. В пределе λ стремится к 0, тогда в случае, если λ отрицательна, H определяется следующим образом:

.

Здесь A и B — вещественные константы.

В январе 2018 года Брэд Роджерс и Теренс Тао опубликовали статью на arXiv.org , в которой они утверждают, что константа де Брейна-Ньюмана неотрицательна .

Примечания

  1. Nicolaas Govert de Bruijn. (англ.) // Duke Math. J.. — 1950. — Vol. 17 , no. 3 . — P. 197–226 . 10 сентября 2018 года.
  2. Haseo Ki, Young-One Kim, Jungseob Lee. (англ.) // Advances in Mathematics. — 2009. — Vol. 222 , no. 1 . — P. 281—306 . — ISSN . 9 августа 2017 года.
  3. . Дата обращения: 9 августа 2018. 12 июня 2018 года.
  4. Дата обращения: 9 августа 2018. 13 августа 2018 года.
  5. Charles M. Newman, Wei Wu. . arXiv:1901.06596 [math-ph] (19 января 2019). Дата обращения: 15 марта 2019. 22 января 2020 года.
  6. Dave Platt, Tim Trudgian. . arXiv:2004.09765 [math.NT] (21 апреля 2020). Дата обращения: 2 мая 2021. 17 апреля 2021 года.
  7. G. Csordas, A.M. Odlyzko, W. Smith, R.S Varga. (англ.) // Electronic Transactions on Numerical Analysis. — 1993. — Vol. 1 . — P. 104–111 . 19 августа 2021 года.
  8. Andrew Odlyzko. An improved bound for the de Bruijn–Newman constant (англ.) // Numerical Algorithms. — 2000. — Vol. 25 . — P. 293—303 .
  9. G. Csordas, A.M. Odlyzko, W. Smith, R.S. Varga. An improved lower bound for the de Bruijn–Newman constant (англ.) // Mathematics of Computation. — 2011. — Vol. 80 , no. 276 . — P. 2281–2287 .
  10. Brad Rodgers, Terence Tao. The De Bruijn–Newman constant is non-negative. — 2018.
  11. (19 января 2018). Дата обращения: 9 августа 2018. 11 июля 2018 года.
Источник —

Same as Константа де Брёйна — Ньюмана