Константа простых чисел — вещественное число ${\displaystyle \rho }$ , ${\displaystyle n}$ -ая двоичная цифра которого равна 1, если ${\displaystyle n}$ является простым , и 0, если n является составным или 1.

Другими словами, ${\displaystyle \rho }$ является просто числом, двоичное разложение которого соответствует индикаторной функции множества простых чисел . То есть

${\displaystyle \rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}}$

где ${\displaystyle p}$ означает простое число, а ${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$ является характеристической функцией простых чисел.

Начальные знаки десятичного представления числа ρ : ${\displaystyle \rho =0{,}414682509851111660248109622\ldots }$ (последовательность в OEIS )

Начальные знаки двоичного представления: ${\displaystyle \rho =0{,}011010100010100010100010000\ldots _{2}}$ (последовательность в OEIS )

Иррациональность

Легко показать, что число ${\displaystyle \rho }$ иррационально . Чтобы увидеть это, предположим, что оно рационально.

Обозначим ${\displaystyle k}$ -й знак двоичного представления ${\displaystyle \rho }$ через ${\displaystyle r_{k}}$ . Тогда, поскольку ${\displaystyle \rho }$ по предположению рационально, должны существовать положительные числа ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle k}$ , такие, что ${\displaystyle r_{n}=r_{n+ik}}$ для всех ${\displaystyle n>N}$ и всех ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ .

Поскольку простых чисел бесконечно много, мы можем выбрать простое ${\displaystyle p>N}$ . По определению мы знаем, что ${\displaystyle r_{p}=1}$ . Как было указано выше, должно выполняться ${\displaystyle r_{p}=r_{p+ik}}$ для любого ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ . Рассмотрим случай ${\displaystyle i=p}$ . Мы имеем ${\displaystyle r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0}$ , поскольку ${\displaystyle p(k+1)}$ составное, так как ${\displaystyle k+1\geq 2}$ . Поскольку ${\displaystyle r_{p}\neq r_{p(k+1)}}$ , мы должны констатировать, что ${\displaystyle \rho }$ иррационально.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .