Обратная постоянная Фибоначчи (обозначение — ${\displaystyle \psi }$ ) определяется как сумма бесконечного ряда чисел, обратных чисел Фибоначчи :

${\displaystyle \psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .}$

Поскольку при неограниченном увеличении номера k число ${\displaystyle {\tfrac {F_{k}}{F_{k+1}}}}$ приближается к величине ${\displaystyle \varphi ^{-1}=0{,}6180339887...,}$ обратной золотому сечению , которая по модулю меньше единицы, то по признаку Д’Аламбера сумма сходится.

Один из алгоритмов быстрого численного приближения его значения был описан Биллом Госпером . Обратный ряд Фибоначчи сам по себе обеспечивает ${\displaystyle O(k)}$ знаков точности для k членов разложения, где ${\displaystyle O}$ — o «большое» , в то время как ускоренный ряд Госпера обеспечивает ${\displaystyle O(k^{2})}$ знаков. Число ${\displaystyle \psi }$ иррационально : предположение об этом было высказано Полом Эрдёшем , Рональдом Грэмом и и доказано в 1989 году Ричардом Андре-Жаннином.

Представление константы в виде непрерывной дроби:

${\displaystyle \psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,}$
${\displaystyle 2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]\!\,.}$ (последовательность в OEIS )

Примечания

Источники

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .