В математике тригонометрическое число ( англ. trigonometric number ) — иррациональное число , полученное как синус или косинус рационального числа оборотов или, что то же самое, синус или косинус угла, величина которого в радианах является рациональным кратным числа пи , или синус или косинус рационального числа градусов .

Вещественное число , отличное от 0, 1, −1, является тригонометрическим числом тогда и только тогда, когда оно является вещественной частью корня из единицы .

Доказательства теорем об этих числах дал канадско-американский математик Айвен Нивен , впоследствии его доказательства улучшили и упростили Ли Чжоу и Любомир Марков .

Любое тригонометрическое число может быть выражено через радикалы . Таким образом, каждое тригонометрическое число является алгебраическим числом . Последнее утверждение можно доказать , взяв за основу формулу Муавра для случая ${\displaystyle \theta =2\pi k/n}$ для взаимно простых k и n:

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=1.}$

Расширение левой части и приравнивание вещественных частей дает уравнение в ${\displaystyle \cos \theta }$ и ${\displaystyle \sin ^{2}\theta ;}$ подставляя ${\displaystyle \sin ^{2}\theta =1-\cos ^{2}\theta }$ , получаем уравнение полинома, имеющее ${\displaystyle \cos \theta }$ своим решением, поэтому последнее по определению является алгебраическим числом. Также ${\displaystyle \sin \theta }$ является алгебраическим числом, поскольку он равен алгебраическому числу ${\displaystyle \cos(\theta -\pi /2).}$ Наконец, ${\displaystyle \tan \theta }$ , где ${\displaystyle \theta }$ является рациональным, кратным ${\displaystyle \pi }$ , является алгебраическим, что можно получить, приравнивая мнимые части двух сторон разложения уравнения Муавра друг к другу и разделив на ${\displaystyle \cos ^{n}\theta }$ для получения полиномиального уравнения в ${\displaystyle \tan \theta .}$

Примечания