Interested Article - Тригонометрическое число
![](/images/009/134/9134342/1.jpg?rand=692365)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/ac575e3eecf0fa410518c2d3a2e7209f.png)
- 2020-06-09
- 1
В математике тригонометрическое число ( англ. trigonometric number ) — иррациональное число , полученное как синус или косинус рационального числа оборотов или, что то же самое, синус или косинус угла, величина которого в радианах является рациональным кратным числа пи , или синус или косинус рационального числа градусов .
Вещественное число , отличное от 0, 1, −1, является тригонометрическим числом тогда и только тогда, когда оно является вещественной частью корня из единицы .
Доказательства теорем об этих числах дал канадско-американский математик Айвен Нивен , впоследствии его доказательства улучшили и упростили Ли Чжоу и Любомир Марков .
Любое тригонометрическое число может быть выражено через радикалы . Таким образом, каждое тригонометрическое число является алгебраическим числом . Последнее утверждение можно доказать , взяв за основу формулу Муавра для случая для взаимно простых k и n:
Расширение левой части и приравнивание вещественных частей дает уравнение в и подставляя , получаем уравнение полинома, имеющее своим решением, поэтому последнее по определению является алгебраическим числом. Также является алгебраическим числом, поскольку он равен алгебраическому числу Наконец, , где является рациональным, кратным , является алгебраическим, что можно получить, приравнивая мнимые части двух сторон разложения уравнения Муавра друг к другу и разделив на для получения полиномиального уравнения в
Примечания
- ↑ Niven, Ivan. Irrational Numbers , Carus Mathematical Monographs no. 11, 1956.
- Li Zhou and Lubomir Markov. (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 2010. — Vol. 117 . — P. 360—362 . — doi : . от 7 февраля 2019 на Wayback Machine
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/ac575e3eecf0fa410518c2d3a2e7209f.png)
- 2020-06-09
- 1