Золотой треугольник — это равнобедренный треугольник , в котором две боковые (равные) стороны находятся в золотой пропорции с основанием:

${\displaystyle {a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.}$

Золотые треугольники можно обнаружить в развёртках некоторых звёздчатых форм додекаэдра и икосаэдра .

Также, тот же треугольник обнаруживается в вершинах пентаграммы . Угол при вершине равен

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\varphi \over 2}\right)={\pi \over 5}=36^{\circ }.}$

Из того, что сумма углов треугольника равна 180°, получаем, что углы при основании равны 72° . Золотой треугольник можно найти также в десятиугольнике , если соединить две смежные вершины с центром. Полученный треугольник будет золотым, поскольку: 180(10-2)/10=144° является внутренним углом десятиугольника, и деление его отрезком, соединяющим вершину с центром, даст половину, 144/2=72 .

Золотой треугольник также замечателен уникальным соотношением углов 2:2:1 .

Логарифмическая спираль

Последовательность золотых треугольников можно вписать в логарифмическую спираль . (Начиная с большого треугольника) делим угол при основании пополам, получаем следующую точку . Процесс деления может продолжаться бесконечно, создавая бесконечно много золотых треугольников. Логарифмическую спираль можно провести через полученные вершины. Эта спираль известна также как равноугольная спираль . Термин предложил Рене Декарт : «Если провести прямую из полюса к любой точке на кривой, она пересечёт кривую всегда под одним и тем же углом» .

Золотой гномон

Тесно связан с золотым треугольником золотой гномон , тупоугольный равнобедренный треугольник, в котором отношение длины равных (коротких) сторон к длине третьей стороны (основанию) является обратным к золотому отношению. Золотой гномон является уникальным треугольником с пропорцией углов 1:1:3. Его острые углы составляют 36°, то же значение, что и у угла при вершине золотого треугольника.

Расстояние AX и СX равны φ, что видно на рисунке. «Золотой треугольник имеет отношение основания к стороне, равное золотому отношению φ, в то время как золотой гномон имеет отношение боковой стороны к основанию, равное тому же золотому отношению» .

Плитки (сверху) и семь возможных типов вершин (снизу) в мозаике Пенроуза типа P2

Золотой треугольник может быть разрезан на золотой треугольник и золотой гномон. То же самое верно для золотого гномона. Золотой гномон и золотой треугольник с их равными сторонами (сторона гномона равна стороне треугольника) также являются тупым и острым треугольниками Робинсона .

Эти равнобедренные треугольники могут быть использованы для получения мозаик Пенроуза . Плитки Пенроуза состоят из «змеев» и «дротиков». «Змей» представляет собой дельтоид , состоящий из двух золотых треугольников, а «дротик» — дельтоид, состоящий из двух золотых гномонов.

См. также

• Золотое сечение
• Золотой прямоугольник
• Золотой ромб
• Треугольник Кеплера
• Мозаика Пенроуза
• Пентаграмма

Примечания

Литература

• Kimberly Elam. . — New York: Princeton Architectural Press, 2001. — ISBN 1-56898-249-6 .
• H.E. Huntley. . — New York: Dover Publications Inc, 1970. — ISBN 0-486-22254-3 .
• Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. — Broadway Books, 2002. — ISBN 0-7679-0815-5 .
• Arthur Loeb. Concepts and Images: Visual Mathematics. — Boston: Birkhäuser Boston, 1992. — ISBN 0-8176-3620-X .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• at Tilings Encyclopedia