Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства , позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространствам . На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства , как принцип разделимости .

Аксиомы

Введено множество аксиом отделимости, наиболее широко используемых — шесть, обозначаемые соответственно T ₀ , T ₁ , T ₂ , T ₃ , T _3½ , T ₄ (от нем. Trennungsaxiom ); кроме того, иногда используются другие аксиомы и их вариации (R ₀ , R ₁ , T _2½ , T ₅ , T ₆ и другие).

T ₀

T ₀ ( аксиома Колмогорова ): для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ по крайней мере одна точка должна иметь окрестность , не содержащую вторую точку.

T ₁

T ₁ ( аксиома Тихонова ): для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ должна существовать окрестность точки ${\displaystyle x}$ , не содержащая точку ${\displaystyle y}$ , и окрестность точки ${\displaystyle y}$ , не содержащая точку ${\displaystyle x}$ . Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

T ₂

T ₂ ( аксиома Хаусдорфа , хаусдорфово пространство ): для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ должны найтись непересекающиеся окрестности ${\displaystyle U(x)}$ и ${\displaystyle V(y)}$ .

T ₃

T ₃ : Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности . Эквивалентное условие: для любой точки ${\displaystyle x}$ и её окрестности ${\displaystyle U}$ существует окрестность ${\displaystyle V}$ , такая, что ${\displaystyle x\in V\subset {\bar {V}}\subset U}$ . Иногда в определение аксиомы отделимости T ₃ включают требования аксиомы отделимости T ₁ . Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T ₁ . Регулярное пространство — пространство, удовлетворяющие аксиомам T ₁ и T ₃ .

T _3½

T _3½ : для любого замкнутого множества ${\displaystyle F}$ и не содержащейся в нём точки ${\displaystyle a}$ существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция ${\displaystyle f(x)}$ , заданная на этом пространстве, принимающая значения от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle 1}$ на всем пространстве, причем ${\displaystyle f(a)=0}$ и ${\displaystyle f(x)=1}$ для всех ${\displaystyle x}$ , принадлежащих ${\displaystyle F}$ . Пространства, удовлетворяющие аксиомам T ₁ и T _3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами; при этом иногда выполнение T ₁ включают в определение T _3½ , а в определении вполне регулярного пространства не включают требование аксиомы T ₁ (тогда в определение тихоновского пространства она включается) .

T ₄

T ₄ : для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности . Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества ${\displaystyle F}$ и его окрестности ${\displaystyle U}$ существует окрестность ${\displaystyle V}$ , такая, что ${\displaystyle F\subset V\subset {\bar {V}}\subset U}$ ( ${\displaystyle {\bar {V}}}$ — замыкание ${\displaystyle V}$ ). Нормальное пространство — пространства, удовлетворяющие T ₁ и T ₄ . Иногда в определение T ₄ включают требование выполнения T ₁ , а в определении нормального пространства не включается требование T ₁ .

Свойства

Некоторые соотношения аксиом отделимости и связанных с ними классов друг с другом:

• ${\displaystyle T_{0}}$ , ${\displaystyle T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{2}}$ не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома ${\displaystyle T_{1}}$ );
• из ${\displaystyle T_{1}}$ следует ${\displaystyle T_{0}}$ ;
• регулярные пространства являются хаусдорфовыми;
• вполне регулярные пространства являются регулярными;
• нормальные пространства являются также и вполне регулярными;
• компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.

Примечания

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М. : Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• И. М. Виноградов. Отделимости аксиома // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.) . — 1977—1985. — статья из математической энциклопедии, автор — В. И. Зайцев