Полурешётка ( англ. semilattice , до 1960-х годов также использовался термин полуструктура ) в общей алгебре — полугруппа , бинарная операция в которой коммутативна и идемпотентна .

В терминах теории порядков полурёшетка может быть определена как частично упорядоченное множество , для каждой пары элементов которого определена точная верхняя грань ( верхняя полурешётка ) или точная нижняя грань ( нижняя полурешётка ). Множество, являющееся одновременно верхней и нижней полурешёткой, является решёткой .

Алгебраические определения

Полурешётка аксиоматизируется как алгебра , снабжённая бинарной операцией ${\displaystyle \langle V,\star \rangle }$ следующими тождествами:

1. ${\displaystyle x\star x=x}$ ( идемпотентность );
2. ${\displaystyle (x\star y)\star z=x\star (y\star z)}$ ( ассоциативность );
3. ${\displaystyle x\star y=y\star x}$ ( коммутативность ).

Если алгебры ${\displaystyle \langle V,\vee \rangle }$ и ${\displaystyle \langle V,\wedge \rangle }$ — полурешётки, и их операции связаны соотношениями (называемым законами поглощения ):

• ${\displaystyle x\vee (x\wedge y)=x}$ ,
• ${\displaystyle x\wedge (x\vee y)=x}$ ,

то алгебра ${\displaystyle \langle V,\vee ,\wedge \rangle }$ является решёткой . В таком контексте ${\displaystyle \langle V,\vee \rangle }$ называют верхней полурешёткой , а ${\displaystyle \langle V,\wedge \rangle }$ — нижней . В верхних полурешётках вводится верхний элемент ${\displaystyle \top \in V}$ такой, что ${\displaystyle \top \vee x=\top }$ для всех элементов ${\displaystyle x\in V}$ , в нижних — нижний элемент ${\displaystyle \bot \in V}$ такой, что ${\displaystyle \bot \wedge x=\bot }$ , полурешётки, в которых существуют такие элементы, называют ограниченными.

Частичный порядок

Частичный порядок в алгебраически определённой полурешётке ${\displaystyle (V,\wedge )}$ может быть введён следующим образом: ${\displaystyle x\sqsubseteq y}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x\wedge y=x}$ . Поскольку бинарная операция в полурешётке идемпотентна , коммутативна и ассоциативна, то определённый таким образом порядок является рефлексивным ( ${\displaystyle x\sqsubseteq x}$ ), антисимметричным ( ${\displaystyle (x\sqsubseteq y)\And (y\sqsubseteq x)\Rightarrow (x=y)}$ и транзитивным ( ${\displaystyle (x\sqsubseteq y)\And (y\sqsubseteq z)\Rightarrow (x\sqsubseteq z)}$ ).

Примечания

Литература

• , Скорняков Л. А. . Глава V. Решётки // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1991. — Т. 2. — С. 192—294. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4 .
• Davey, B. A.; Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order (англ.) . — second. — Cambridge University Press , 2002. — ISBN 0-521-78451-4 .
• . Topology via Logic (англ.) . — Cambridge University Press , 1989. — ISBN 0-521-36062-5 .

Ссылки

• Jipsen’s algebra structures page: