Подгруппа ― подмножество ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G}$ , само являющееся группой относительно группового умножения на ${\displaystyle G}$ .

Подмножество ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G}$ является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

1. ${\displaystyle H}$ содержит единичный элемент из ${\displaystyle G}$
2. содержит произведение любых двух элементов из ${\displaystyle H}$ ,
3. содержит вместе со всяким своим элементом ${\displaystyle h}$ обратный к нему элемент ${\displaystyle h^{-1}}$ .

В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух.

Примеры

• Подмножество группы ${\displaystyle G}$ , состоящее из одного элемента ${\displaystyle 1}$ , будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы ${\displaystyle G}$ .
• Сама ${\displaystyle G}$ также является своей подгруппой.

Связанные определения

• Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
• Сама группа ${\displaystyle G}$ и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы ${\displaystyle G}$ , все остальные ― собственными .
• Пересечение всех подгрупп группы ${\displaystyle G}$ , содержащих все элементы некоторого непустого множества ${\displaystyle M}$ , называется подгруппой, порождённой множеством ${\displaystyle M}$ , и обозначается ${\displaystyle \langle M\rangle }$ .
  • Если ${\displaystyle M}$ состоит из одного элемента ${\displaystyle a}$ , то ${\displaystyle \langle a\rangle }$ называется циклической подгруппой элемента ${\displaystyle a}$ .
  • Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой .
• Если группа ${\displaystyle G_{1}}$ изоморфна некоторой подгруппе ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G}$ , то говорят, что группа ${\displaystyle G_{1}}$ может быть вложена в группу ${\displaystyle G}$ .
• Если ${\displaystyle H}$ — подгруппа группы ${\displaystyle G}$ , то для любого ${\displaystyle a\in G}$ подмножество

  ${\displaystyle aHa^{-1}=\{\,aha^{-1}\mid h\in H\,\}}$

является подгруппой. При этом подгруппы ${\displaystyle aHa^{-1}}$ и ${\displaystyle H}$ называются сопряжёнными .

Основные свойства

• Пересечение подгрупп А и В также является подгруппой.
• Все подгруппы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп.
• Непустое множество ${\displaystyle H\subset G}$ является подгруппой группы ${\displaystyle G}$ тогда и только тогда, когда для любых ${\displaystyle a,b\in H}$ выполняется ${\displaystyle ab^{-1}\in H.}$
• Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы ${\displaystyle G}$ является подгруппой группы ${\displaystyle G}$ .
• Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle K}$ называется подгруппа, порожденная объединением множеств ${\displaystyle H\cup K}$ .
• Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
• Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.

Смежные классы

Для подгруппы ${\displaystyle H}$ и некоторого элемента ${\displaystyle a\in G}$ , определяется левый смежный класс ${\displaystyle aH=\{ax:x\in H\}}$ . Количество левых смежных классов подгруппы ${\displaystyle H}$ называется индексом подгруппы ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ и обозначается ${\displaystyle [G:H]}$ . Аналогично можно определить правые классы смежности ${\displaystyle Ha=\{xa:x\in H\}}$ .

Если левые и правые классы смежности подгруппы совпадают, то она называется нормальной . Это свойство даёт возможность построить факторгруппу ${\displaystyle G/H}$ группы ${\displaystyle G}$ по нормальной подгруппе ${\displaystyle H}$ .

Литература

• Курош А. Г. . — 3-е изд. — М. : Наука, 1967. — 648 с.
• Журавлёв Ю. И. , Флёров Ю. А. , Вялый М. Н. . — 2-е изд. — М. : МЗ Пресс, 2007. — С. 24—25. — 224 с.