Факторкольцо́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы . Любое кольцо является группой по сложению , поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение , необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом .

Определение

Пусть ${\displaystyle I}$ — двусторонний идеал кольца ${\displaystyle R}$ . Определим на ${\displaystyle R}$ отношение эквивалентности :

${\displaystyle a\sim b}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a-b\in I.}$

Класс эквивалентности элемента ${\displaystyle a}$ обозначается как ${\displaystyle [a]}$ или ${\displaystyle a+I}$ и называется классом смежности по модулю идеала. Факторкольцо ${\displaystyle R/I}$ — это множество классов смежности элементов ${\displaystyle R}$ по модулю ${\displaystyle I}$ , на котором следующим образом определены операции сложения и умножения:

${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$

${\displaystyle (a+I)\cdot (b+I)=ab+I}$

Легко проверить, что эти операции определены корректно, то есть не зависят от выбора конкретного представителя ${\displaystyle a}$ класса смежности ${\displaystyle a+I}$ . Например, корректность умножения проверяется следующим образом: пусть ${\displaystyle a_{2}=a+i_{1},b_{2}=b+i_{2},\;i_{1,2}\in I}$ . Тогда ${\displaystyle a_{2}b_{2}=(a+i_{1})(b+i_{2})=ab+i_{1}b+ai_{2}+i_{1}i_{2}\in ab+I}$ . В последнем шаге доказательства использовалась замкнутость идеала относительно умножения на элемент кольца (как слева, так и справа) и замкнутость относительно сложения.

Связанные теоремы

• Теорема о гомоморфизме колец :

Если ${\displaystyle f}$ — сюръективный гомоморфизм кольца ${\displaystyle \mathrm {K} }$ на кольцо ${\displaystyle \mathrm {R} }$ , то ядро ${\displaystyle \ker \,f}$ является идеалом кольца ${\displaystyle \mathrm {K} }$ , причём кольцо ${\displaystyle \mathrm {R} }$ изоморфно факторкольцу ${\displaystyle \mathrm {K} /\ker \,f}$ .

Обратно: если ${\displaystyle \mathrm {J} }$ — идеал кольца ${\displaystyle \mathrm {K} }$ , то отображение ${\displaystyle f:\mathrm {K} \to \mathrm {K/J} }$ , определяемое условием ${\displaystyle f(a)=a+\mathrm {J} ,\forall a\in \mathrm {K} }$ является гомоморфизмом кольца ${\displaystyle \mathrm {J} }$ на ${\displaystyle \mathrm {K/J} }$ с ядром ${\displaystyle \mathrm {J} }$ .

Теорема аналогична теореме о гомоморфизме групп .

• Идеал ${\displaystyle \mathrm {J} }$ кольца ${\displaystyle \mathrm {K} }$ является простым ( максимальным ) в том и только в том случае, когда факторкольцо ${\displaystyle \mathrm {K/J} }$ является целостным кольцом ( полем ).
• Согласно китайской теореме об остатках , если ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots I_{n}}$ — попарно взаимно простые идеалы (то есть сумма любых двух из них равна всему кольцу), то факторкольцо по их произведению (или, эквивалентно, по их пересечению ) изоморфно произведению факторов вида ${\displaystyle R/(I_{i})}$ .

Примеры

• Пусть ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — кольцо целых чисел , ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ — идеал, состоящий из чисел, кратных ${\displaystyle n}$ . Тогда ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ — конечное кольцо вычетов по модулю ${\displaystyle n}$ . Такое кольцо также обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ или ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$ .
• Рассмотрим кольцо многочленов с действительными коэффициентами ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ и идеал, состоящий из многочленов, кратных ${\displaystyle x^{2}+1}$ . Факторкольцо ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$ изоморфно полю комплексных чисел : класс ${\displaystyle [x]}$ соответствует мнимой единице. Действительно, в факторкольце элементы ${\displaystyle x^{2}+1}$ и ${\displaystyle 0}$ эквивалентны, то есть ${\displaystyle x^{2}=-1}$ .
• Обобщая предыдущий пример, факторкольца часто используют для построения расширений полей . Пусть ${\displaystyle K}$ — некоторое поле и ${\displaystyle f(x)}$ — неприводимый многочлен в ${\displaystyle K[x]}$ . Тогда ${\displaystyle K[x]/(f(x))}$ является полем, и это поле содержит по крайней мере один корень многочлена ${\displaystyle f(x)}$ — класс смежности элемента ${\displaystyle x}$ .
• Важный пример использования предыдущей конструкции — построение конечных полей . Рассмотрим конечное поле ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ из двух элементов (которое в этом контексте обычно обозначается как ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ ). Многочлен ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ неприводим над этим полем (так как не имеет корней), следовательно, факторкольцо ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2}+x+1)}$ является полем. Это поле состоит из четырёх элементов: 0, 1, x и x +1. Все конечные поля можно построить аналогичным образом.

Примечания

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М. : Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7 .
• Атья М. , Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М. : Мир, 1972. — 160 с.
• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М. : Мир, 1998. — 430 с. — ISBN 5-03-000065-8 .