Interested Article - Решётка (алгебра)

Решётка (ранее использовался термин структура ) — частично упорядоченное множество , в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани . Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

Примеры

  1. множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению; например: , ;
  2. всякое линейно упорядоченное множество ; причём если , то ;
  3. множество всех подпространств векторного пространства , упорядоченных по включению, где — пересечение, а — сумма соответствующих подпространств;
  4. множество всех неотрицательных целых чисел , упорядоченных по делимости : , если для некоторого . Здесь наименьшее общее кратное , а наибольший общий делитель данных чисел;
  5. вещественные функции , определённые на отрезке [0, 1], упорядоченные условием , если для всех . Здесь
, где .

Алгебраическое определение

Решётка может быть также определена как универсальная алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются и или + и ∙), удовлетворяющая следующим тождествам


  1. ( идемпотентность )

  2. ( коммутативность )

  3. ( ассоциативность )

  4. ( ).

Связь между этими двумя определениями устанавливается при помощи формул:

,
,

и обратно. При этом для любых элементов и эквивалентны следующие утверждения:

;
;
.

Понятия изоморфизма решёток как универсальных алгебр и как частично упорядоченных множеств совпадают. Однако произвольное решётки в решётку не обязано быть гомоморфизмом этих решёток как универсальных алгебр.

Подрешётки

Подрешётка ― подмножество элементов решётки, замкнутое относительно операций и . Примерами подрешёток являются всякое одноэлементное подмножество решётки, идеал , фильтр , интервал .

Подрешётка называется выпуклой , если из и вытекает, что . Все подрешётки выше — выпуклые.

Любое подмножество элементов цепи является её подрешёткой (не обязательно выпуклой). Все подрешётки данной решётки, упорядоченные отношением включения, образуют решётку.

История

Появление понятия «решётка» относится к середине XIX века. Чётко его сформулировал Р. Дедекинд в работах 1894 и 1897 годов . Термин «lattice», переведённый как «структура», был введён Биркгофом в 1933 году . В настоящее время в русской терминологии (из-за многозначности слова «структура») он вытеснен переводом «решётка». Исторически роль теории решёток объясняется тем, что многие факты, касающиеся множества идеалов кольца и множества нормальных подгрупп группы , выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории . Как самостоятельное направление алгебры эта теория сформировалась в 30-х годах XX века. Наиболее важные классы решёток, кроме дедекиндовых, — это , и булевы алгебры .

Примеры упорядоченных множеств, которые не являются решётками

  • Дискретный порядок — любые два разных элемента несравнимы — будет решёткой только если элемент один-единственный.
  • Делители числа 36 без 6 — {1, 2, 3, 12, 18, 36}, упорядоченные по делимости. 2 и 3 не имеют точной верхней грани, а 12 и 18 — точной нижней.

См. также

Ссылки

Доступные бесплатно в интернете монографии:

  • Burris, Stanley N., H.P. Sankappanavar . A Course in Universal Algebra. — Springer-Verlag, 1981. ISBN 3-540-90578-2 .
  • Peter Jipsen, Henry Rose . Varieties of Lattices — Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8 .

Элементарные тексты для обладающих малой математической культурой:

  • Thomas Donnellan . Lattice Theory. — Pergamon, 1968.
  • G. Grätzer . Lattice Theory: First concepts and distributive lattices. — W. H. Freeman, 1971.

Обычные введения в предмет, несколько более сложные, чем указанный выше:

Продвинутые монографии:

  • Garrett Birkhoff . Lattice Theory. — 3rd ed. Vol. 25 of AMS Colloquium Publications. American Mathematical Society, 1967.
  • Robert P. Dilworth, Peter Crawley . Algebraic Theory of Lattices. — Prentice-Hall, 1973. ISBN 978-0-13-022269-5 .

О свободных решётках:

  • R. Freese, J. Jezek, J. B. Nation . Free Lattices. — Mathematical Surveys and Monographs Vol. 42. Mathematical Association of America , 1985.
  • P.T. Johnstone . Stone spaces. — Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press, 1982.

Литература

  • Биркгоф Г. Теория структур / Пер. с англ. — М., 1952;
  • Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М., 1970;
  • Житомирский Г. И. Упорядоченные множества и решётки. — Саратов, 1981;
  • Гретцер Г. Общая теория решёток / Пер. с англ. — М., 1982.
Источник —

Same as Решётка (алгебра)