Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел , основная задача которого — изучение свойств целых элементов числовых полей .

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа , то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности , то есть единственности разложения на простые множители.

Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений и в том числе попыткам доказать великую теорему Ферма . Куммеру принадлежит равенство

${\displaystyle x^{n}=z^{n}-y^{n}=\prod _{i=1}^{n}(z-a_{i}y)}$ , где ${\displaystyle a_{i}}$ — корни степени ${\displaystyle n}$ из единицы.

Таким образом Куммер определил новые целые числа вида ${\displaystyle z+a_{i}y}$ . Позднее Лиувилль показал , что если алгебраическое число является корнем уравнения степени ${\displaystyle n}$ , то к нему нельзя подойти ближе чем на ${\displaystyle Q^{-n}}$ , приближаясь дробями вида ${\displaystyle P/Q}$ , где ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — целые взаимно простые числа .

После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими .

Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как , теорию Галуа , теорию полей классов , дзета- и L -функции Дирихле, и многое другое. ^{[ источник не указан 3509 дней ]}

Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p -адических чисел ).

Примечания

Литература

• И. М. Виноградов . Алгебраическая теория чисел // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.) . — 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.