Теорема Жордана — классическая теорема топологии , гласящая, что замкнутая плоская кривая без самопересечений делит плоскость на две различные части: «внутреннюю» и «внешнюю».

Теорема Жордана известна контрастом между простотой её формулировки и сложностью доказательства. Такой контраст в первую очередь связан с существованием «диких» кривых, таких как замкнутые кривые Осгуда . В случае кривых специального вида, таких как ломаные , утверждение доказывается относительно просто .

Замкнутые кривые, удовлетворяющие условию теоремы Жордана, называются жордановыми .

История

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году .

Некоторые авторы утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году . Однако пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае ломаных .

Формулировка

Любая замкнутая кривая Жордана ${\displaystyle \gamma }$ на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ разбивает её на две компоненты и является их общей границей .

Замечания

Из двух таких компонент ровно одна является ограниченной . Ограниченная компонента называется внутренней частью кривой ${\displaystyle \gamma }$ , а неограниченная — внешней .

Данные компоненты можно охарактеризовать в терминах порядка точки относительно кривой . А именно, множество точек плоскости, порядок которых относительно кривой ${\displaystyle \gamma }$ равен ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle -1}$ , совпадает с её внутренней частью, а множество точек, порядок которых равен ${\displaystyle 0}$ , совпадает с внешней часть.

Согласно, теореме Шёнфлиса, внутренняя часть кривой ${\displaystyle \gamma }$ гомеоморфна кругу .

О доказательствах

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

• Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил .
• Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем .

Вариации и обобщения

• Теорема Жордана обобщается по размерности:

Любое ${\displaystyle (n-1)}$ -мерное подмногообразие в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.

При ${\displaystyle n=3}$ это доказано Лебегом , в общем случае — Брауэром , отчего ${\displaystyle n}$ -мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.

• Более того, любое компактное связное ${\displaystyle (n-1)}$ -мерное подмногообразие в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. Доказательство получается применением двойственности Александера .

• Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
  • В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
  • Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.

См. также

• Озёра Вады — патологический пример, показывающий нетривиальность теоремы Жордана.
• Дикий узел

Примечания

Литература

• Аносов Д. В. — М. : изд-во МЦНМО, 2003.
• Филиппов А. Ф. — УМН , 5:5(39) (1950), 173—176.
• Jordan С. Cours d’analyse, t. I, P., 1893.
• Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. — пер. с франц., т. 2, Л.-М., 1933.
• Александров П. С. Комбинаторная топология. — М.-Л., 1947.
• Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — пер. с англ., М. : 1964.
• Болтянский В.Г. , Ефремович В.А. Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — 160 с.
• Прасолов В. В. — Матем. образование, апрель-сентябрь 1999, 95—101.