Кусочно-гладкая функция
- 1 year ago
- 0
- 0
Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе , тесно связана с теорией меры . Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.
Дискретная весовая функция — положительная функция, определенная на дискретном множестве значений , которое обычно конечно или счётно . Весовая функция соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы множества имеют равные веса. Если функция определена на области вещественных чисел , то невзвешенная сумма на определяется как
в отличие от взвешенной суммы , определяемой как
Одни из наиболее распространенных приложений взвешенных сумм — численное интегрирование и цифровая фильтрация .
Если B — конечное подмножество множества A , классическая мощность множества |B| может быть заменена на взвешенную мощность
Если A — конечное непустое множество , можно ввести аналог среднего арифметического
в виде взвешенного среднего арифметического
В задачах многокритериальной оптимизации для перехода от множества частных значений критериев качества к единому интегральному критерию (например, стоимостному) также применяется взвешенное суммирование. Иногда , если диапазоны значений частных показателей качества существенно различаются (на несколько порядков), перед нахождением численного значения интегрального критерия частные показатели качества нормируются (диапазон изменения каждого из них приводится к отрезку ): , а интегральный критерий рассчитывается как , чем достигается одинаковое влияние частных критериев на результат при сопоставимых значениях весовых коэффициентов .
Взвешенное среднее часто используется в статистике для компенсации предвзятости ( англ. ). Для истинного значения , измеренного как несколько раз независимо друг от друга с дисперсиями , наилучшее приближение получается путём усреднения всех результатов измерений с весами : результирующая дисперсия оказывается меньше каждого независимого измерения . В методе максимального подобия разности взвешиваются аналогичными значениями .
Термин взвешенная функция возник из механики : если имеется объектов с весами (термин вес в данном случае имеет физический смысл), расположенных в точках на рычаге , рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры будет расположена в центре масс
который можно интерпретировать как взвешенное среднее координат .
В случае непрерывных величин вес — положительная мера в некотором , который обычно представляет собой подмножество Евклидова пространства на отрезке . Здесь — мера Лебега , а — неотрицательная функция. В данном контексте весовая функция часто употребляется в понятии плотности .
Если — вещественнозначная функция, то невзвешенный интеграл
может быть дополнен взвешенным интегралом
Если E — подмножество , то объём vol( E ) области E может быть дополнен взвешенным объёмом
Если имеет конечный ненулевой взвешенный объём, то можно заменить невзвешенное среднее
на взвешенное среднее
Если и — две функции, в дополнение в невзвешенному скалярному произведению
можно ввести взвешенное скалярное произведение
(См. также ортогональность )