Многочлен HOMFLY — инвариант зацепления в форме многочлена двух переменных.

Является одним из самых чувствительных инвариантов зацеплений. В частности, многочлены Джонса и Александера выражаются через HOMFLY подстановками. В то же время HOMFLY вычисляется проще вышеназванных многочленов.

Название HOMFLY объединяет инициалы его авторов: Джима Хоста, Адриана Окняну, Кеннета Миллетта, Питера Дж. Фрейда, У. Б. Р. Ликориша и Дэвида Н. Йеттера. Иногда многочлен называют HOMFLY-PT , указывая на связанную независимую работу Юзефом Х. Пшитицким и Павлом Трачиком.

Определение

HOMFLY зацепления — многочлен двух переменных m и l и определяется скейн-соотношением :

${\displaystyle P({\text{тривиальный узел}})=1,}$

${\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}$

где ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$ — зацепления, образованные перестройками у одного пересечения диаграммы, как показано на рисунке.

Многочлен HOMFLY зацепления L , которое является разделённым объединением двух зацеплений ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ , задаётся как

${\displaystyle P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).}$

Свойства

• HOMFLY мултипликативен относительно связной суммы узлов :

  ${\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})\cdot P(L_{2}).}$

• Если ${\displaystyle K'}$ — отражение зацепления ${\displaystyle K}$ , то

  ${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{K'}(\ell ^{-1},m),}$ .

  • В частности, многочлен HOMFLY можно использовать для различения двух узлов разной хиральности . Однако существуют хиральные пары узлов, которые имеют один и тот же многочлен HOMFLY, например, узлы 9 ₄₂ и 10 ₇₁

Примечания

Литература

• Прасолов В. В. , Сосинский А. Б. . — М. : МЦНМО , 1997. — ISBN 5-900916-10-3 .