Interested Article - Гипотеза Морделла
![](/images/009/169/9169645/1.jpg?rand=892213)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/fa27ef3ef6570e32a79e74deca7c1bc3.jpg)
- 2020-06-17
- 3
Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода , выдвинутая Луисом Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля рациональных чисел на произвольное числовое поле . Была доказана Гердом Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса .
Предпосылки
Пусть — алгебраическая кривая над полем . Множество рациональных точек кривой зависит от её рода следующим образом:
- Случай : рациональных точек нет, либо их бесконечно много; является коническим сечением .
- Случай : рациональных точек нет, либо является эллиптической кривой , а её рациональные точки образуют конечнопорождённую абелеву группу . Это следует из теоремы Морделла , позднее обобщённой до . Кроме того, ограничивает возможную структуру подгруппы кручения.
- Случай : согласно выдвинутой Морделлом гипотезе, может иметь лишь конечное число рациональных точек.
Доказательство
В 1962 году Шафаревич высказал гипотезу о конечности, с точностью до изоморфизма, множества алгебраических кривых, имеющих заданный род , поле определения и множество точек плохой редукции . В 1968 году Паршин показал, как гипотезу Морделла можно свести к указанной гипотезе конечности Шафаревича.
В 1983 году Фальтингс доказал гипотезу конечности Шафаревича, используя известный способ сведения гипотезы к случаю и инструменты алгебраической геометрии , включая теорию .
Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано . Позднее оно было упрощено Фальтингсом и Энрико Бомбьери .
Следствия
Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:
- Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек.
- Гипотезу Шафаревича о существовании лишь конечного, с точностью до изоморфизма, множества абелевых многообразий заданных размерности и степени поляризации над фиксированным числовым полем, имеющих хорошую редукцию всюду вне заданного конечного множества точек этого поля.
- Теорему об изогении абелевых многообразий, имеющих изоморфные модули Тейта.
Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма : для любого выбранного существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения , поскольку для таких n кривая Ферма имеет род, больший 1.
Обобщения
В силу , теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой с конечнопорождённой подгруппой абелева многообразия . Заменяя на произвольное подмногообразие и на произвольную подгруппу конечного ранга , мы получаем обобщение, ведущее к , которая была доказана.
Другое обобщение теоремы Фальтингса — это , утверждающая, что если — (то есть многообразие общего типа) над конечным полем , то множество -рациональных точек нигде не плотно в топологии Зарисского в . Дальнейшие обобщения гипотезы были выдвинуты Паулем Войта.
Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963 году и Грауэртом в 1965 году. в 1990 году нашёл и исправил пробел в доказательстве Манина.
Литература
- Mordell, L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees . Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922).
- Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell . Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.
- А. Ю. Вайнтроб, А. Б. Сосинский. . — Квант , 1984. — № 3 .
- Иэн Стюарт . Величайшие математические задачи. — М. : Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1 .
Ссылки
- Bombieri, Enrico. The Mordell conjecture revisited // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.. — 1990. — Т. 17 , № 4 . — С. 615—640 .
- Coleman, Robert F. (англ.) // L'Enseignement Mathematique. Revue Internationale. IIe Serie : journal. — 1990. — Vol. 36 , no. 3 . — P. 393—427 . — ISSN . 2 октября 2011 года. . — « ». от 2 октября 2011 на Wayback Machine
- Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. Arithmetic geometry. — New York: Springer, 1986. — ISBN 0-387-96311-1 . > Contains an English translation of Faltings (1983)
- Faltings, Gerd. (нем.) // Inventiones Mathematicae : magazin. — 1983. — Bd. 73 , Nr. 3 . — S. 349—366 . — doi : .
- Grauert, Hans. (нем.) // Publications Mathematiques de l'IHES : magazin. — 1965. — Nr. 25 . — S. 131—149 . — ISSN . . — « ».
- Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diophantine geometry. — Springer-Verlag , 2000. — Т. 201. — ( ). — ISBN 0-387-98981-1 . > Gives Vojta’s proof of Falting’s Theorem.
- S. Lang . . — Springer-Verlag , 1997. — С. —122. — ISBN 3-540-61223-8 .
- Manin, Ju. I. (англ.) // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya : journal. — 1963. — Vol. 27 . — P. 1395—1440 . — ISSN . . — « ».
- Mordell, Louis J. On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees (англ.) // : journal. — 1922. — Vol. 21 . — P. 179—192 . . — «».
- Parsin, A. N. Quelques conjectures de finitude en geometrie diophantienne // Actes du Congres International des Mathematiciens (Nice, 1970), Tome 1. — Gauthier-Villars, 1971. — С. 467—471.
- Parshin, A. N. (2001), , in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/fa27ef3ef6570e32a79e74deca7c1bc3.jpg)
- 2020-06-17
- 3