Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода ${\displaystyle g>1}$ , выдвинутая Луисом Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рациональных чисел на произвольное числовое поле . Была доказана Гердом Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса .

Предпосылки

Пусть ${\displaystyle C}$ — алгебраическая кривая над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ . Множество рациональных точек кривой ${\displaystyle C}$ зависит от её рода ${\displaystyle g}$ следующим образом:

• Случай ${\displaystyle g=0}$ : рациональных точек нет, либо их бесконечно много; ${\displaystyle C}$ является коническим сечением .
• Случай ${\displaystyle g=1}$ : рациональных точек нет, либо ${\displaystyle C}$ является эллиптической кривой , а её рациональные точки образуют конечнопорождённую абелеву группу . Это следует из теоремы Морделла , позднее обобщённой до . Кроме того, ограничивает возможную структуру подгруппы кручения.
• Случай ${\displaystyle g>1}$ : согласно выдвинутой Морделлом гипотезе, ${\displaystyle C}$ может иметь лишь конечное число рациональных точек.

Доказательство

В 1962 году Шафаревич высказал гипотезу о конечности, с точностью до изоморфизма, множества алгебраических кривых, имеющих заданный род ${\displaystyle g>1}$ , поле определения ${\displaystyle K}$ и множество точек плохой редукции ${\displaystyle S}$ . В 1968 году Паршин показал, как гипотезу Морделла можно свести к указанной гипотезе конечности Шафаревича.

В 1983 году Фальтингс доказал гипотезу конечности Шафаревича, используя известный способ сведения гипотезы к случаю и инструменты алгебраической геометрии , включая теорию .

Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано . Позднее оно было упрощено Фальтингсом и Энрико Бомбьери .

Следствия

Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:

• Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек.
• Гипотезу Шафаревича о существовании лишь конечного, с точностью до изоморфизма, множества абелевых многообразий заданных размерности и степени поляризации над фиксированным числовым полем, имеющих хорошую редукцию всюду вне заданного конечного множества точек этого поля.
• Теорему об изогении абелевых многообразий, имеющих изоморфные модули Тейта.

Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма : для любого выбранного ${\displaystyle n\geq 4}$ существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ , поскольку для таких n кривая Ферма ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$ имеет род, больший 1.

Обобщения

В силу , теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой ${\displaystyle C}$ с конечнопорождённой подгруппой ${\displaystyle \Gamma }$ абелева многообразия ${\displaystyle A}$ . Заменяя ${\displaystyle C}$ на произвольное подмногообразие ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \Gamma }$ на произвольную подгруппу конечного ранга ${\displaystyle A}$ , мы получаем обобщение, ведущее к , которая была доказана.

Другое обобщение теоремы Фальтингса — это , утверждающая, что если ${\displaystyle X}$ — (то есть многообразие общего типа) над конечным полем ${\displaystyle k}$ , то множество ${\displaystyle k}$ -рациональных точек ${\displaystyle X(k)}$ нигде не плотно в топологии Зарисского в ${\displaystyle X}$ . Дальнейшие обобщения гипотезы были выдвинуты Паулем Войта.

Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963 году и Грауэртом в 1965 году. в 1990 году нашёл и исправил пробел в доказательстве Манина.

Литература

• Mordell, L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees . Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922).
• Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell . Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.
• А. Ю. Вайнтроб, А. Б. Сосинский. . — Квант , 1984. — № 3 .
• Иэн Стюарт . Величайшие математические задачи. — М. : Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Ссылки

• Bombieri, Enrico. The Mordell conjecture revisited // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.. — 1990. — Т. 17 , № 4 . — С. 615—640 .
• Coleman, Robert F. (англ.) // L'Enseignement Mathematique. Revue Internationale. IIe Serie : journal. — 1990. — Vol. 36 , no. 3 . — P. 393—427 . — ISSN . 2 октября 2011 года. . — « ». от 2 октября 2011 на Wayback Machine
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. Arithmetic geometry. — New York: Springer, 1986. — ISBN 0-387-96311-1 . > Contains an English translation of Faltings (1983)
• Faltings, Gerd. (нем.) // Inventiones Mathematicae : magazin. — 1983. — Bd. 73 , Nr. 3 . — S. 349—366 . — doi : .
• Grauert, Hans. (нем.) // Publications Mathematiques de l'IHES : magazin. — 1965. — Nr. 25 . — S. 131—149 . — ISSN . . — « ».
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diophantine geometry. — Springer-Verlag , 2000. — Т. 201. — ( ). — ISBN 0-387-98981-1 . > Gives Vojta’s proof of Falting’s Theorem.
• S. Lang . . — Springer-Verlag , 1997. — С. —122. — ISBN 3-540-61223-8 .
• Manin, Ju. I. (англ.) // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya : journal. — 1963. — Vol. 27 . — P. 1395—1440 . — ISSN . . — « ».
• Mordell, Louis J. On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1922. — Vol. 21 . — P. 179—192 . . — «».
• Parsin, A. N. Quelques conjectures de finitude en geometrie diophantienne // Actes du Congres International des Mathematiciens (Nice, 1970), Tome 1. — Gauthier-Villars, 1971. — С. 467—471.
• Parshin, A. N. (2001), , in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4