Алгебраическое числовое поле (или просто числовое поле ) — это конечное (а следовательно — алгебраическое ) расширение поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ . Таким образом, числовое поле — это поле , содержащее ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и являющееся конечномерным векторным пространством над ним. При этом некоторые авторы называют числовым полем любое подполе комплексных чисел — например, М. М. Постников в «Теории Галуа».

Числовые поля и, более общо, алгебраические расширения поля рациональных чисел являются основным объектом изучения алгебраической теории чисел .

Примеры

• Наименьшее и базовое числовое поле — поле рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .
• Гауссовы рациональные числа, обозначаемые ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ — первый нетривиальный пример числового поля. Его элементы — выражения вида

${\displaystyle a+bi}$

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ рациональные числа, ${\displaystyle i}$ — мнимая единица . Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с комплексными числами , и у каждого ненулевого элемента существует обратный, как это видно из равенства

${\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.}$

Из этого следует, что рациональные гауссовы числа образуют поле, являющееся двумерным пространством над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (то есть квадратичным полем ).

• Более общо, для любого свободного от квадратов целого числа ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ будет квадратичным расширением поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .
• Круговое поле ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ получается добавлением в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ примитивного корня n -й степени из единицы. Поле должно содержать и все его степени (то есть все корни n -й степени из единицы), его размерность над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ равняется функции Эйлера ${\displaystyle \varphi (n)}$ .
• Действительные и комплексные числа имеют бесконечную степень над рациональными, поэтому они не являются числовыми полями. Это следует из несчетности: любое числовое поле является счётным .
• Поле всех алгебраических чисел ${\displaystyle \mathbb {A} }$ не является числовым. Хотя расширение ${\displaystyle \mathbb {A} \supset \mathbb {Q} }$ алгебраично, оно не является конечным.

Кольцо целых числового поля

Поскольку числовое поле является алгебраическим расширением поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , любой его элемент является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами (то есть является алгебраическим ). Более того, каждый элемент является корнем многочлена с целыми коэффициентами, так как можно домножить все рациональные коэффициенты на произведение знаменателей. Если же данный элемент является корнем некоторого унитарного многочлена с целыми коэффициентами, он называется целым элементом (или алгебраическим целым числом). Не все элементы числового поля целые: например, легко показать что единственные целые элементы ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — это обычные целые числа .

Можно доказать, что сумма и произведение двух алгебраических целых чисел — снова алгебраическое целое число, поэтому целые элементы образуют подкольцо числового поля ${\displaystyle K}$ , называемое кольцом целых поля ${\displaystyle K}$ и обозначаемое ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ . Поле не содержит делителей нуля и это свойство наследуется при переходе к подкольцу, поэтому кольцо целых целостно ; поле частных кольца ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ — это само поле ${\displaystyle K}$ . Кольцо целых любого числового поля обладает следующими тремя свойствами: оно целозамкнуто , нётерово и одномерно . Коммутативное кольцо с такими свойствами называется дедекиндовым в честь Рихарда Дедекинда .

Разложение на простые и группа классов

В произвольном дедекиндовом кольце существует и единственно разложение ненулевых идеалов в произведение простых . Однако не любое кольцо целых удовлетворяет свойству факториальности : уже для кольца целых квадратичного поля ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ разложение не единственно:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$

Введя на этом кольце норму, можно показать, что эти разложения действительно различны, то есть одно нельзя получить из другого умножением на обратимый элемент .

Степень нарушения свойства факториальности измеряют при помощи группы классов идеалов , эта группа для кольца целых всегда конечна и её порядок называют числом классов.

Базисы числового поля

Целый базис

Целый базис числового поля F степени n — это множество

B = { b ₁ , …, b _n }

из n элементов кольца целых поля F , такое что любой элемент кольца целых O _F поля F можно единственным способом записать как Z -линейную комбинацию элементов B ; то есть для любого x из O _F существует и единственно разложение

x = m ₁ b ₁ + … + m _n b _n ,

где m _i — обычные целые числа. В этом случае любой элемент F можно записать как

m ₁ b ₁ + … + m _n b _n ,

где m _i — рациональные числа. После это целые элементы F выделяются тем свойством, что это в точности те элементы, для которых все m _i целые.

Используя такие инструменты как локализация и эндоморфизм Фробениуса , можно построить такой базис для любого числового поля. Его построение является встроенной функцией во многих системах компьютерной алгебры .

Степенной базис

Пусть F — числовое поле степени n . Среди всех возможных базисов F (как Q -векторного пространства), существуют степенные базисы, то есть базисы вида

B _x = {1, x , x ² , …, x ^{n −1} }

для некоторого x ∈ F . Согласно теореме о примитивном элементе , такой x всегда существует, его называют примитивным элементом данного расширения.

Норма и след

Алгебраическое числовое поле является конечномерным векторным пространством над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (обозначим его размерность за ${\displaystyle n}$ ), и умножение на произвольный элемент поля является линейным преобразованием этого пространства. Пусть ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots e_{n}}$ — какой-нибудь базис F , тогда преобразованию ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$ соответствует матрица ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ , определяемая условием

${\displaystyle \alpha e_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbf {Q} .}$

Элементы этой матрицы зависят от выбора базиса, однако от него не зависят все инварианты матрицы, такие как определитель и след . В контексте алгебраических расширений, определитель матрицы умножения на элемент называется нормой этого элемента (обозначается ${\displaystyle N(x)}$ ); след матрицы — следом элемента (обозначается ${\displaystyle {\text{Tr}}(x)}$ ).

След элемента является линейным функционалом на F :

${\displaystyle {\text{Tr}}(x+y)={\text{Tr}}(x)+{\text{Tr}}(y)}$ и ${\displaystyle {\text{Tr}}(\lambda x)=\lambda {\text{Tr}}(x),\lambda \in \mathbb {Q} }$ .

Норма является мультипликативной и однородной функцией:

${\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y)}$ и ${\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in \mathbb {Q} }$ .

В качестве исходного базиса можно выбрать целый базис , умножению на целое алгебраическое число (то есть на элемент кольца целых ) в этом базисе будет соответствовать матрица с целыми элементами. Следовательно, след и норма любого элемента кольца целых являются целыми числами.

Пример использования нормы

Пусть ${\displaystyle d}$ — натуральное число , свободное от квадратов , тогда ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ — квадратичное поле (в частности, являющееся числовым полем). Выберем в этом поле целый базис ${\displaystyle (1,{\sqrt {d}})}$ ( ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$ — целый элемент, так как он является корнем приведенного многочлена ${\displaystyle x^{2}-d}$ ). В этом базисе умножению на ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$ соответствует матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}}$

Следовательно, ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}}$ . На элементах кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]}$ эта норма принимает целые значения. Норма является гомоморфизмом мультипликативной группы ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]}$ на мультипликативную группу ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , поэтому норма обратимых элементов кольца может быть равна только ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle -1}$ . Для того, чтобы решить уравнение Пелля ${\displaystyle a^{2}-db^{2}=1}$ , достаточно найти все обратимые элементы кольца целых (также называемые единицами кольца ) и выделить среди них имеющие норму ${\displaystyle 1}$ . Согласно теореме Дирихле о единицах , все обратимые элементы данного кольца являются степенями одного элемента (с точностью до умножения на ${\displaystyle -1}$ ), поэтому для нахождения всех решений уравнения Пелля достаточно найти одно фундаментальное решение.

См. также

• Теория Куммера

Литература

• Х. Кох. . — М. : ВИНИТИ , 1990. — Т. 62. — 301 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
• Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Часть 2. — М. : Едиториал УРСС, 2004.
• Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.. — М. : Едиториал УРСС, 2011.
• Serge Lang , Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000