Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства , допускающее бесконечную размерность и полное по метрике , порождённой скалярным произведением . Названо в честь Давида Гильберта .

Важнейшим объектом исследования в гильбертовом пространстве являются линейные операторы . Само понятие гильбертова пространства сформировалось в работах Гильберта и Шмидта по теории интегральных уравнений , а абстрактное определение было дано в работах фон Неймана , Риса и Стоуна по теории эрмитовых операторов .

Определение

Гильбертово пространство — линейное (векторное) пространство (над полем вещественных или комплексных чисел), в котором :

• указано правило, которое позволяет определить для любых двух элементов пространства ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ их скалярное произведение ${\displaystyle (x,y)}$ ;
• это правило удовлетворяет следующим требованиям:
  • ${\displaystyle (y,x)=(x,y)}$ (переместительный закон в вещественном гильбертовом пространстве) или ${\displaystyle (y,x)={\overline {(x,y)}}}$ (переместительный закон в комплексном гильбертовом пространстве, черта означает знак комплексного сопряжения) ;
  • ${\displaystyle (x,y+z)=(x,y)+(x,z)}$ (распределительный закон);
  • ${\displaystyle (\lambda x,y)=\lambda (x,y)}$ для любого вещественного числа ${\displaystyle \lambda }$ ;
  • ${\displaystyle (x,x)>0}$ при ${\displaystyle x\neq 0}$ и ${\displaystyle (x,x)=0}$ при ${\displaystyle x=0}$ .
• которое является полным относительно порождённой этим скалярным произведением метрики ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {(x-y,x-y)}}}$ . Если условие полноты пространства не выполнено, то говорят о предгильбертовом пространстве . Однако большинство из известных (используемых) пространств либо являются полными, либо могут быть пополнены.

Таким образом, гильбертово пространство есть банахово пространство (полное нормированное пространство), норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением и определяется как ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {(x,x)}}}$

Норма в произвольном нормированном пространстве может порождаться некоторым скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство (тождество) параллелограмма :

${\displaystyle (\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}).}$

Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

${\displaystyle (x,y)=\left\|{\dfrac {x+y}{2}}\right\|^{2}-\left\|{\dfrac {x-y}{2}}\right\|^{2}.}$

Если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

${\displaystyle (x,y)=\left\|{\dfrac {x+y}{2}}\right\|^{2}-\left\|{\dfrac {x-y}{2}}\right\|^{2}+i\left\|{\dfrac {x+iy}{2}}\right\|^{2}-i\left\|{\dfrac {x-iy}{2}}\right\|^{2}}$ (поляризационное тождество).

Неравенство Коши — Буняковского. Ортогональность

В гильбертовом пространстве важное значение имеет неравенство Коши — Буняковского :

${\displaystyle |(x,y)|\leqslant \|x\|\|y\|}$ .

Это неравенство в случае вещественного гильбертова пространства даёт возможность определить угол ${\displaystyle \varphi }$ между двумя элементами x и y по следующей формуле

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(x,y)}{\|x\|\|y\|}}}$ .

В частности, если скалярное произведение равно нулю ${\displaystyle (x,y)=0}$ , а сами элементы являются ненулевыми, то угол между этими элементами равен ${\displaystyle 90^{\circ }}$ , что соответствует ортогональности элементов x и y. Понятие ортогональности вводится и в комплексном гильбертовом пространстве с помощью соотношения ${\displaystyle (x,y)=0}$ . Для обозначения ортогональности элементов используется символ ${\displaystyle \perp }$ . Два подмножества ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ гильбертова пространства ортогональны ${\displaystyle (M\perp N)}$ , если любые два элемента ${\displaystyle f\in M}$ , ${\displaystyle g\in N}$ ортогональны.

Для попарно ортогональных векторов справедлива теорема Пифагора (обобщённая):

${\displaystyle \left\|\sum _{i}x_{i}\right\|^{2}=\sum _{i}\|x_{i}\|^{2}}$ .

Множество всех элементов пространства, ортогональных некоторому подмножеству ${\displaystyle A}$ , является замкнутым линейным многообразием (подпространством) и называется ортогональным дополнением этого множества.

Подмножество элементов называется ортонормированной системой , если любые два элемента множества ортогональны и норма каждого элемента равна единице.

Базисы и размерность гильбертова пространства

Система векторов гильбертова пространства является полной , если она порождает всё пространство, то есть если произвольный элемент пространства может быть сколь угодно точно приближен по норме линейными комбинациями элементов этой системы. Если в пространстве существует счётная полная система элементов, то пространство является сепарабельным — то есть имеется счётное всюду плотное множество, замыкание которого по метрике пространства совпадает со всем пространством.

Эта полная система ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ является базисом, если каждый элемент пространства можно представить как линейную комбинацию элементов этой системы, причём однозначно. В общем случае банаховых пространств из полноты и линейной независимости элементов системы не следует, что это базис. Однако в случае сепарабельных гильбертовых пространств полная ортонормированная система ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ является базисом. Для того чтобы ортонормированная система была полна в сепарабельном гильбертовом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы не существовало ненулевого элемента, ортогонального всем элементам ортонормированной системы. Таким образом, для каждого элемента ${\displaystyle f}$ пространства имеет место разложение по ортонормированному базису ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ :

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}e_{i}=\sum _{i=1}^{\infty }(f,e_{i})e_{i}}$ .

Коэффициенты разложения ${\displaystyle \alpha _{i}=(f,e_{i})}$ называют коэффициентами Фурье. При этом для нормы элемента выполнено равенство Парсеваля :

${\displaystyle \|f\|^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }|(f,e_{i})|^{2}}$ .

Все ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве имеют одинаковую мощность, что позволяет определить размерность гильбертова пространства как размерность произвольного ортонормированного базиса (ортогональная размерность). Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда имеет счётную размерность.

Размерность пространства также можно определить как наименьшую из мощностей подмножеств гильбертова пространства ${\displaystyle H}$ , для которых замыкание линейной оболочки совпадает с ${\displaystyle H}$ .

Любые два гильбертовы пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны . В частности, любые два бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны друг другу и пространству квадратично-суммируемых последовательностей ${\displaystyle \ell ^{2}}$ .

Существуют несепарабельные гильбертовы пространства — пространства, в которых нет счётного базиса . В частности, интересен пример несепарабельного пространства ${\displaystyle L^{2}}$ со специальной мерой .

Ортогональные разложения

Пусть ${\displaystyle L}$ — некоторое подпространство в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ . Тогда для любого элемента ${\displaystyle f\in H}$ справедливо единственное разложение ${\displaystyle f=g+h}$ , где ${\displaystyle g\in L}$ , а ${\displaystyle h\perp L}$ . Элемент ${\displaystyle g}$ называется проекцией элемента ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle L}$ . Совокупность элементов ${\displaystyle h}$ , ортогональных подпространству ${\displaystyle L}$ , образует (замкнутое) подпространство ${\displaystyle M}$ , являющееся ортогональным дополнением подпространства ${\displaystyle L}$ .

Говорят, что пространство ${\displaystyle H}$ разложено в прямую сумму подпространств ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle M}$ , что записывается как ${\displaystyle H=L\oplus M}$ . Аналогично можно записать ${\displaystyle L=H\ominus M}$ .

Пространство линейных функционалов

Пространство линейных непрерывных (ограниченных) функционалов также образует линейное пространство и называется сопряжённым пространством.

Имеет место следующая теорема Риса об общем виде ограниченного линейного функционала в гильбертовом пространстве: для любого линейного ограниченного функционала ${\displaystyle f}$ на гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ существует единственный вектор ${\displaystyle y\in H}$ такой, что ${\displaystyle f(x)=(x,y)}$ для любого ${\displaystyle x\in H}$ . При этом норма линейного функционала ${\displaystyle f}$ совпадает с нормой вектора ${\displaystyle y}$ :

${\displaystyle \|f\|=\sup _{\|x\|=1}|f(x)|={\sqrt {(y,y)}}}$ .

Из теоремы следует, что пространство линейных ограниченных функционалов над гильбертовым пространством ${\displaystyle H}$ изоморфно самому пространству ${\displaystyle H}$ .

Линейные операторы в гильбертовых пространствах

Линейный оператор ${\displaystyle A}$ может быть представлен в данном базисе матричными элементами единственным образом: ${\displaystyle a_{ij}=(Ae_{i},e_{j})}$ .

Линейный оператор ${\displaystyle A^{*}}$ называется сопряжённым к оператору ${\displaystyle A}$ , если для любых элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ выполнено равенство ${\displaystyle (Ax,y)=(x,A^{*}y)}$ . Норма сопряжённого оператора равна норме самого оператора.

Линейный ограниченный оператор называется самосопряжённым ( симметрическим ), если ${\displaystyle A^{*}=A}$ .

Оператор ${\displaystyle P}$ , определённый на всем пространстве, который каждому элементу ставит в соответствие его проекцию на некоторое подпространство, называется проектирующим оператором (оператором проектирования). Проектор — это такой оператор, что ${\displaystyle P^{2}=P}$ . Если, кроме того, проектор ${\displaystyle P}$ является самосопряжённым оператором, то он является и ортогональным проектором. Произведение двух проектирующих операторов является проектирующим тогда и только тогда, когда они перестановочны: ${\displaystyle P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}}$ .

Свойства

• Теорема представлений Риса : для любой ортонормированной системы векторов ${\displaystyle {\lbrace \phi _{i}\rbrace }_{i=1}^{\infty }}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ и числовой последовательности ${\displaystyle {\lbrace C_{i}\rbrace }_{i=1}^{\infty }}$ , такой что ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }C_{i}^{2}<\infty }$ , в ${\displaystyle H}$ существует такой элемент ${\displaystyle u}$ , что ${\displaystyle C_{i}=\left(u,\phi _{i}\right)}$ и ${\displaystyle {\left\Vert u\right\Vert }^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }{\left(u,\phi _{i}\right)}^{2}}$ .
• Гильбертовы пространства порождают строго нормированные пространства .

Примеры

Базовый пример — евклидово пространство .

Пространство квадратично-суммируемых последовательностей ${\displaystyle \ell ^{2}}$ : его точки суть бесконечные последовательности вещественных чисел ${\displaystyle x=\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ , для которых сходится ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}}$ , скалярное произведение на нём задаётся равенством:

${\displaystyle (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n}}$ .

Пространство ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$ измеримых функций с вещественными значениями на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ с интегрируемыми по Лебегу квадратами — то есть таких, что интеграл

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\!|f|^{2}\,dx}$

определён и конечен, притом функции, отличающиеся между собой на множестве меры нуль, отождествляются между собой (то есть формально ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$ есть соответствующее множество классов эквивалентностей). Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством:

${\displaystyle (f,g)=\int \limits _{a}^{b}\!f{g}\,dx}$ .

Для пространств ${\displaystyle \ell ^{2}}$ и ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$ над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:

${\displaystyle (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y}}_{n}}$ ;

${\displaystyle (f,g)=\int \limits _{a}^{b}\!f{\overline {g}}\,dx}$ .

Примечания

Литература

• Халмош П. , / Пер. с англ. И. Д. Новикова и Т. В. Соколовской; под ред. Р. А. Минлоса. — М.: Мир, 1970. — 352 с.
• Морен К. Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.