Родился в семье Леопольда Бернгардовича Левинсона (1888—?), впоследствии товароведа Центрвоенторга на Воздвиженке, и Груни Нефтелевны (Гертруды Анатольевны) Гинзбург (1890—?), впоследствии медсестры Кремлёвской больницы. Свой творческий путь Борис Левинсон начал в
1937 году
в
(ныне
Электротеатр Станиславский
).
С середины 1970-х играл на сцене
Театра имени В. Маяковского
в роли ярких, психологически развёрнутых образов. На его счету такие роли, как, например, Вожак («Человек из Ламанчи» Д. Вассермана и Д. Дэриона), Вермишев («Своей дорогой» Р. Ибрагимбекова), клоун Бом («Венсеремос!» Г. Боровика), Второй зам («Агент 00» Г. Боровика), Гроссман («Плоды просвещения» Л. Толстого) и др. Исполнитель роли Анатолия Ефремовича Новосельцева в комедии Рязанова и Брагинского «Сослуживцы», которую через несколько лет воплотит на экране Андрей Мягков в фильме «Служебный роман».
Брат — Анатолий Леопольдович Левинсон (1913, Варшава — 1938, Москва), альпинист, студент института инженеров транспорта им. Сталина, был расстрелян 9 февраля 1938 года на Бутовском полигоне по делу о шпионаже среди инструкторов альпинизма.
Сын — Александр Бернгардович Левинсон, журналист
.