Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число , умножение которого на x даёт единицу . Принятая запись: ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ или ${\displaystyle x^{-1}}$ . Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными .

Примеры .

Единственные вещественные числа, совпадающие со своими обратными: ${\displaystyle +1}$ и ${\displaystyle -1.}$

Обратное для числа 2 равно ${\displaystyle {\frac {1}{2}}.}$

Обратное для числа ${\displaystyle {\frac {11}{35}}}$ равно ${\displaystyle {\frac {35}{11}}.}$

Обратное для числа ${\displaystyle \pi =3{,}1415926535\dots }$ равно ${\displaystyle 0{,}3183098861\dots }$

Обратное число не следует путать с противоположным или с обратной функцией .

Понятие обратного элемента можно определить не только для чисел, но и для других математических объектов .

Обратное к действительному числу

Для любого действительного (или комплексного ) числа, отличного от нуля , существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1 . Но, как правило, используется запись через дробь.

Число	Обратное
	Дробь	Степень
${\displaystyle n}$	${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$	${\displaystyle n^{-1}}$

То есть ${\displaystyle \ {\frac {1}{n}}=n^{-1}}$ .

Примеры
Число	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$	${\displaystyle -{\frac {2}{7}}}$	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -0,125}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle e^{\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 10^{23}}$
Обратное	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle -{\frac {7}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$	${\displaystyle 0,5}$	${\displaystyle -8}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{4}}}}$	${\displaystyle 10^{-23}}$

Обратное для нуля

В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного перехода (в математическом анализе ), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.

Используя предельный переход, получаем:

• Правый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty }$ _ или _ ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}+0}]{}}\ {+\infty }}$
• Левый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty }$ _ или _ ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}-0}]{}}\ {-\infty }}$

Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «−» . Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также «равен» бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.

• ${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {1}{x^{2}}}={+\infty }}$

Но ${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {\frac {1}{x}}{\frac {1}{x^{2}}}}=\lim _{x\to +0}{\frac {x^{2}}{x}}=0}$

Обратное к комплексному числу

Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая , тригонометрическая и показательная .

Формы комплексного числа	Число ${\displaystyle (z)}$	Обратное ${\displaystyle \left({\frac {1}{z}}\right)}$
Алгебраическая	${\displaystyle x+iy}$	${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}}$
Тригонометрическая	${\displaystyle r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$	${\displaystyle {\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )}$
Показательная	${\displaystyle re^{i\varphi }}$	${\displaystyle {\frac {1}{r}}e^{-i\varphi }}$

Обозначение и доказательство Обозначение ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ (комплексное число), ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)\in \mathbb {R} }$ (действительная часть комплексного числа), ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)\in \mathbb {R} }$ (мнимая часть комплексного числа), ${\displaystyle i}$ — мнимая единица , ${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ (модуль комплексного числа), ${\displaystyle \varphi =\operatorname {arg} z=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}}$ (аргумент комплексного числа), ${\displaystyle e}$ — основание натурального логарифма . Доказательство: Для алгебраической и тригонометрической форм используем основное свойство дроби , умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное : Алгебраическая форма: ${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}}$ Тригонометрическая форма: ${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}}={\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{(\cos \varphi +i\sin \varphi )(\cos \varphi -i\sin \varphi )}}={\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi }}={\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )}$ Показательная форма: ${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{i\varphi }}}={\frac {1}{r}}e^{-i\varphi }}$

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Формы комплексного числа	Число ${\displaystyle (z)}$	Обратное ${\displaystyle \left({\frac {1}{z}}\right)}$
Алгебраическая	${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}i}$
Тригонометрическая	${\displaystyle 2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)}$ или ${\displaystyle 2\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)}$ или ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$
Показательная	${\displaystyle 2e^{i{\frac {\pi }{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-i{\frac {\pi }{3}}}}$

Обратное к мнимой единице

Существует лишь два числа ( комплексно-сопряженные ), обратное и противоположное числа к которым равны. Это ${\displaystyle \pm i}$ .

Число	Равенство обратного и противоположного
	Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень
${\displaystyle i}$	${\displaystyle {\frac {1}{i}}=-i}$	${\displaystyle i^{-1}=-i}$
${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -{\frac {1}{i}}=i}$	${\displaystyle -i^{-1}=i}$

Доказательство Продемонстрируем доказательство для ${\displaystyle i}$ (для ${\displaystyle -i}$ аналогично). Используем основное свойство дроби : ${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i}$ Таким образом, получаем ${\displaystyle {\frac {1}{i}}=-i}$ __ или __ ${\displaystyle i^{-1}=-i}$ Аналогично для ${\displaystyle -i}$ : __ ${\displaystyle -{\frac {1}{i}}=i}$ __ или __ ${\displaystyle -i^{-1}=i}$

Вариации и обобщения

Понятие обратного элемента на произвольном множестве ${\displaystyle M}$ можно определить для любой бинарной операции на этом множестве, если для этой операции существует нейтральный элемент — например, в кольце квадратных матриц заданного порядка. Если операция не ассоциативна , то приходится различать левый и правый обратный элементы.

Элементы кольца , имеющие обратный элемент, называются делителями единицы . Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу , называемую группой обратимых элементов. Эта группа всегда непустая, так как содержит как минимум единицу кольца.

Примечания

Литература

• Андронов И. К. Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами. — Москва: Учпедгиз, 1959.