Тождество Эйлера — частный случай формулы Эйлера при ${\displaystyle x=\pi }$ , известное тождество , связывающее пять фундаментальных математических констант :

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$

где

${\displaystyle e}$ — число е , или основание натурального логарифма ,

${\displaystyle i}$ — мнимая единица ,

${\displaystyle \pi }$ — пи , отношение длины окружности к длине её диаметра ,

${\displaystyle 1}$ — единица , нейтральный элемент по операции умножения ,

${\displaystyle 0}$ — ноль , нейтральный элемент по операции сложения .

Тождество Эйлера названо в честь швейцарского , немецкого и российского математика Леонарда Эйлера . Тождество считается образцом математической красоты , поскольку показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике.

Вывод

Тождество Эйлера — это особый случай формулы Эйлера из комплексного анализа :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

для любого вещественного ${\displaystyle x}$ . (Заметим, что аргументы тригонометрических функций ${\displaystyle \sin }$ и ${\displaystyle \cos }$ взяты в радианах ). В частности

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$

А из того, что

${\displaystyle \cos \pi =-1}$

и

${\displaystyle \sin \pi =0,}$

следует

${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$

что даёт тождество:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Обобщения

Тождество Эйлера также является частным случаем более общего тождества: сумма корней из единицы ${\displaystyle n}$ -ой степени при ${\displaystyle n>1}$ равна ${\displaystyle 0}$ :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.}$

Тождество Эйлера — это случай, когда ${\displaystyle n=2}$ .

В другой области математики, используя возведение в степень кватерниона , можно показать, что подобное тождество также применимо к кватернионам. Пусть { i , j , k } — базисные элементы; тогда

${\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.}$

В общем случае, если даны вещественные a ₁ , a ₂ , и a ₃ такие, что a ₁ ² + a ₂ ² + a ₃ ² = 1 , то

${\displaystyle e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.}$

Для октонионов , с вещественным a _n таким, что a ₁ ² + a ₂ ² + ... + a ₇ ² = 1 , и с базисными элементами октонионов { i ₁ , i ₂ , ..., i ₇ },

${\displaystyle e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\dots +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.}$

Математическая красота

Тождество Эйлера, объединяющее три основные математические операции ( сложение , умножение и возведение в степень ) и пять фундаментальных математических констант, принадлежащих к четырём классическим областям математики (числа ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ относятся к арифметике , мнимая единица ${\displaystyle i}$ — к алгебре , число ${\displaystyle \pi }$ — к геометрии , а число e — к математическому анализу ), произвело глубокое впечатление на научный мир, мистически истолковывалось как символ единства математики, и часто приводится как пример глубокой математической красоты .

Тождество Эйлера вызвало множество восторженных отзывов.

• Карл Фридрих Гаусс говорил, что если эта формула сразу не очевидна для студента, то он никогда не превратится в первоклассного математика .
• Профессор математики, натурфилософии и астрономии Гарвардского университета Бенджамин Пирс после доказательства на лекции тождества Эйлера заявил, что «это, наверное, правда, но она абсолютно парадоксальна; мы не можем понять её, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали её, и поэтому мы знаем, что она должна быть достоверной» .
• Физик Ричард Фейнман называл (1977) тождество Эйлера «нашим сокровищем» и «самой замечательной формулой в математике» .
• Профессор математики Стэнфордского университета (англ.) ( в своем эссе «Самое прекрасное уравнение» (2002) сказал: «Как шекспировский сонет схватывает саму суть любви, или картина раскрывает красоту человеческой формы, намного более глубокую, чем просто кожа, уравнение Эйлера проникает в самые глубины существования» .
• Почётный профессор Университета Нью-Гемпшира (англ.) ( в своей книге, посвящённой формуле Эйлера и её применению в анализе Фурье , описывает тождество Эйлера как «изысканной красоты» .
• По мнению популяризатора математики Констанс Рид , это тождество является «самой знаменитой формулой во всей математике» .

Опрос читателей, проведённый математическим журналом The Mathematical Intelligencer в 1990 году, назвал тождество Эйлера «самой красивой теоремой в математике» . В другом опросе читателей, проведённом физическим журналом PhysicsWorld в 2004 году, тождество Эйлера (вместе с уравнениями Максвелла ) было названо «величайшим уравнением в истории» .

Исследование мозга шестнадцати математиков показало, что «эмоциональный мозг» (в частности, медиальная орбитофронтальная кора , реагирующая на прекрасную музыку, поэзию, картины и т. д.) активировался более последовательно в случае тождества Эйлера, чем в отношении любой другой формулы .

История

Формула Эйлера , из которой сразу следует тождество Эйлера, впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона ) «Логометрия» ( лат. Logometria ), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году (когда Эйлеру было 7 лет), и перепечатана в книге «Гармония мер» ( лат. Harmonia mensurarum ) в 1722 году .

Эйлер опубликовал формулу Эйлера в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» ( лат. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) .

Однако, в работах Эйлера 1740 и 1748 годов не фигурирует именно тождество Эйлера (в его нынешнем классическом виде), где возможно, что он его никогда не выводил. Есть вероятность, что Эйлер мог получить информацию о формуле Эйлера через своего швейцарского соотечественника Иоганна Бернулли .

По мнению (англ.) ( :

Мы видели, как оно [тождество Эйлера] может быть легко выведено из результатов Иоганна Бернулли и Роджера Котса, но, похоже, ни один из них этого не сделал. Даже Эйлер, кажется, не записал этого в явном виде — и, конечно, оно не фигурирует ни в одной из его публикаций — хотя он, несомненно, понял, что это немедленно следует из его тождества [в данном случае — формулы Эйлера ], e ^ix = cos x + i sin x . Более того, кажется, неизвестно, кто первым сформулировал результат явно…

В культуре

• Тождеству Эйлера посвящён фильм Такаси Коидзуми « ».

Примечания