Interested Article - Тождество Эйлера (комплексный анализ)

Экспоненциальная функция e z может быть определена как предел последовательности (1 + z / N ) N , при N стремящемуся к бесконечности, и поэтому e есть предел (1 + iπ/N ) N . На каждом кадре этой анимации изображены числа (1 + iπ/N ) k , где k пробегает от 0 до N , а N принимает различные возрастающие значения от 1 до 100.

Тождество Эйлера частный случай формулы Эйлера при , известное тождество , связывающее пять фундаментальных математических констант :

где

число е , или основание натурального логарифма ,
мнимая единица ,
пи , отношение длины окружности к длине её диаметра ,
единица , нейтральный элемент по операции умножения ,
ноль , нейтральный элемент по операции сложения .

Тождество Эйлера названо в честь швейцарского , немецкого и российского математика Леонарда Эйлера . Тождество считается образцом математической красоты , поскольку показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике.

Вывод

Тождество Эйлера — это особый случай формулы Эйлера из комплексного анализа :

для любого вещественного . (Заметим, что аргументы тригонометрических функций и взяты в радианах ). В частности

А из того, что

и

следует

что даёт тождество:

Обобщения

Тождество Эйлера также является частным случаем более общего тождества: сумма корней из единицы -ой степени при равна :

Тождество Эйлера — это случай, когда .

В другой области математики, используя возведение в степень кватерниона , можно показать, что подобное тождество также применимо к кватернионам. Пусть { i , j , k } — базисные элементы; тогда

В общем случае, если даны вещественные a 1 , a 2 , и a 3 такие, что a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1 , то

Для октонионов , с вещественным a n таким, что a 1 2 + a 2 2 + ... + a 7 2 = 1 , и с базисными элементами октонионов { i 1 , i 2 , ..., i 7 },

Математическая красота

Тождество Эйлера, объединяющее три основные математические операции ( сложение , умножение и возведение в степень ) и пять фундаментальных математических констант, принадлежащих к четырём классическим областям математики (числа и относятся к арифметике , мнимая единица — к алгебре , число — к геометрии , а число e — к математическому анализу ), произвело глубокое впечатление на научный мир, мистически истолковывалось как символ единства математики, и часто приводится как пример глубокой математической красоты .

Тождество Эйлера вызвало множество восторженных отзывов.

  • Карл Фридрих Гаусс говорил, что если эта формула сразу не очевидна для студента, то он никогда не превратится в первоклассного математика .
  • Профессор математики, натурфилософии и астрономии Гарвардского университета Бенджамин Пирс после доказательства на лекции тождества Эйлера заявил, что «это, наверное, правда, но она абсолютно парадоксальна; мы не можем понять её, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали её, и поэтому мы знаем, что она должна быть достоверной» .
  • Физик Ричард Фейнман называл (1977) тождество Эйлера «нашим сокровищем» и «самой замечательной формулой в математике» .
  • Профессор математики Стэнфордского университета (англ.) в своем эссе «Самое прекрасное уравнение» (2002) сказал: «Как шекспировский сонет схватывает саму суть любви, или картина раскрывает красоту человеческой формы, намного более глубокую, чем просто кожа, уравнение Эйлера проникает в самые глубины существования» .
  • Почётный профессор Университета Нью-Гемпшира (англ.) в своей книге, посвящённой формуле Эйлера и её применению в анализе Фурье , описывает тождество Эйлера как «изысканной красоты» .
  • По мнению популяризатора математики Констанс Рид , это тождество является «самой знаменитой формулой во всей математике» .

Опрос читателей, проведённый математическим журналом The Mathematical Intelligencer в 1990 году, назвал тождество Эйлера «самой красивой теоремой в математике» . В другом опросе читателей, проведённом физическим журналом PhysicsWorld в 2004 году, тождество Эйлера (вместе с уравнениями Максвелла ) было названо «величайшим уравнением в истории» .

Исследование мозга шестнадцати математиков показало, что «эмоциональный мозг» (в частности, медиальная орбитофронтальная кора , реагирующая на прекрасную музыку, поэзию, картины и т. д.) активировался более последовательно в случае тождества Эйлера, чем в отношении любой другой формулы .

История

Формула Эйлера , из которой сразу следует тождество Эйлера, впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона ) «Логометрия» ( лат. Logometria ), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году (когда Эйлеру было 7 лет), и перепечатана в книге «Гармония мер» ( лат. Harmonia mensurarum ) в 1722 году .

Эйлер опубликовал формулу Эйлера в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» ( лат. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) .

Однако, в работах Эйлера 1740 и 1748 годов не фигурирует именно тождество Эйлера (в его нынешнем классическом виде), где возможно, что он его никогда не выводил. Есть вероятность, что Эйлер мог получить информацию о формуле Эйлера через своего швейцарского соотечественника Иоганна Бернулли .

По мнению (англ.) :

Мы видели, как оно [тождество Эйлера] может быть легко выведено из результатов Иоганна Бернулли и Роджера Котса, но, похоже, ни один из них этого не сделал. Даже Эйлер, кажется, не записал этого в явном виде — и, конечно, оно не фигурирует ни в одной из его публикаций — хотя он, несомненно, понял, что это немедленно следует из его тождества [в данном случае — формулы Эйлера ], e ix = cos x + i sin x . Более того, кажется, неизвестно, кто первым сформулировал результат явно…

В культуре

Примечания

  1. Данциг, Тобиас. . — М. : Техносфера, 2008. — С. . — ISBN 978-5-94836-172-7 .
  2. Дербишир, Джон . Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2 .
  3. Kasner, E. , and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster , Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7 .
  4. Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics (неопр.) . — Addison-Wesley , 1977. — Т. I. — С. 22—10. — ISBN 0-201-02010-6 .
  5. Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2 .
  6. Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
  7. Wells, David (1990), «Are these the most beautiful?», The Mathematical Intelligencer, 12: 37–41, doi:10.1007/BF03024015
  8. Crease, Robert P. (10 May 2004), «The greatest equations ever», Physics World
  9. Zeki, S. ; Romaya, J. P. ; Benincasa, D. M. T. ; Atiyah, M. F. (2014), «The experience of mathematical beauty and its neural correlates», Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150
  10. Cotes R. (англ.) // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. — 1714-1716. — Vol. 29 . — P. 32 . — doi : . 6 июля 2017 года.
  11. Cotes R. (неопр.) . — 1722. — С. 28. 7 июня 2020 года.
  12. Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // (неопр.) . — 1748. — Т. 1. — С. 104.
  13. Sandifer, C. Edward. Euler's Greatest Hits. — Mathematical Association of America, 2007. — ISBN 978-0-88385-563-8 .
  14. Wilson, Robin. Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (англ.) . — Oxford University Press, 2018.
Источник —

Same as Тождество Эйлера (комплексный анализ)