Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит, что порядок конечной группы ${\displaystyle G}$ равен порядку любой подгруппы ${\displaystyle H\subseteq G}$ , умноженному на её индекс , то есть что верно равенство ${\displaystyle |G|=|H|\cdot [G:H]}$ .

Доказательство

Далее будем считать классы смежности левыми.

Разбиение на смежные классы есть отношение эквивалентности. Действительно, если ${\displaystyle gH\cap g'H\neq \emptyset }$ для ${\displaystyle g\neq g'\in G}$ , то существуют ${\displaystyle h,h'\in H}$ , что ${\displaystyle gh=g'h'}$ . Так как мы в группе, то можем домножить на обратный к ${\displaystyle h}$ , получив ${\displaystyle g=g'h'h^{-1}}$ , откуда ${\displaystyle gH=(g'h'h^{-1})H\subset g'H}$ . Повторив процедуру в другую сторону, получим, что ${\displaystyle g'H\subset gH}$ . То есть ${\displaystyle gH=g'H}$ .

При этом ${\displaystyle |gH|=|H|}$ , то есть в каждом классе смежности равное количество элементов, а группа ${\displaystyle G}$ распадается на ${\displaystyle [G:H]}$ таких.

Следствия

1. Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ одинаково и называется индексом подгруппы ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ (обозначается ${\displaystyle [G:H]}$ ).
2. Порядок любой подгруппы конечной группы ${\displaystyle G}$ делит порядок ${\displaystyle G}$ .
3. Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы ${\displaystyle G}$ делит порядок ${\displaystyle G}$ . Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел .
4. Группа порядка ${\displaystyle p}$ , где ${\displaystyle p}$ — простое число , циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок ${\displaystyle p}$ , и значит, каждый из них порождает группу.)

История

Важный частный случай этой теоремы был доказан Лагранжем в 1771 году в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах . Это было задолго до определения группы, Лагранж исследовал группу подстановок . Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.

См. также

• Теоремы Силова