Ма́дхава из Сангамаграмы ( малаял. സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ , хинди संगमग्राम के माधव ; 1350 — 1425 ) — средневековый индийский астроном и математик XIV—XV веков, основатель Керальской школы астрономии и математики . Сангамаграма, где он родился — это, как полагают историки, нынешний город в штате Керала , южная Индия.

Мадхава первым стал заниматься разложением тригонометрических функций в ряды; эти исследования продолжили Нилаканта Сомаяджи и другие учёные керальской школы . Другие исследования Мадхавы относятся к алгебре, тригонометрии и геометрии.

Научная деятельность

Труды Мадхавы, за исключением двух, не сохранились, так что судить о его влиянии можно по многочисленным ссылкам и цитатам его учеников и последователей. Из-за этого, впрочем, трудно отделить результаты самого Мадхавы от достижений других керальских учёных.

Разложение тригонометрических функций

Приведём основные разложения в современных обозначениях (керальцы излагали их словесно, нередко стихами на санскрите ).

№	Ряд	Пояснение	Когда и кем открыт в Европе
1	${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$	Ряд для синуса	Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
2	${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$	Ряд для косинуса	Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
3	${\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }$	Ряд для арктангенса	Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)
4	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots }$	Ряд для числа ${\displaystyle \pi }$	Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)

Эти ряды часто называют рядами Мадхавы-Лейбница или Мадхавы-Грегори . С помощью указанных рядов Мадхава рассчитал и опубликовал точные таблицы синусов . Ещё один ряд, приведённый в труде со ссылкой на Мадхаву, позволяет рассчитать значение арктангенса :

${\displaystyle \theta =\operatorname {tg} \theta -{\frac {\operatorname {tg} ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\operatorname {tg} ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\operatorname {tg} ^{7}\theta }{7}}+\cdots }$

Значение числа π

Расчёт значения числа ${\displaystyle \pi }$ по приведённой выше формуле обнаружен в трактате «Махаджьянаяна», автор которого неизвестен. Часть историков приписывает его Мадхаве, другие — кому-то из его последователей в XVI веке . В трактате приводится также преобразованный ряд, который сходится быстрее:

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Сумма первых 21 слагаемых даёт значение ${\displaystyle 3{,}14159265359}$ , все знаки, исключая последний, верны .

Возможно, Мадхаве принадлежит трактат «Садратнамала», где приводится ещё более точное значение: ${\displaystyle \pi =3{,}14159265358979324}$ (верны все знаки, кроме последнего)

Математический анализ

Мадхава заложил основы математического анализа , которые получили дальнейшее развитие в Керальской школе астрономии и математики его последователями . Мадхава также улучшил некоторые результаты, обнаруженные в более ранних работах, в том числе в работах Бхаскары II . Однако он так и не смог сделать последний шаг и объединить множество различных идей анализа бесконечно малых , не показав связи между производной и интегралом , ему не удалось сформировать основы мощного аналитического инструмента решения задач, который был разработан в Европе в XVII веке .

Труды

Как уже говорилось выше, точно неизвестно, какие из дошедших до нас трудов керальских учёных принадлежат Мадхаве. Историк К. В. Сарма приводит следующий список :

1. Голавада
2. Мадхьяманаянапракара
3. Махаджьянаянапракара
4. Лагнапракарана (लग्नप्रकरण)
5. Венвароха (वेण्वारोह)
6. Спхутакандрапти (स्फुटचन्द्राप्ति)
7. Аганита-грахакара (अगणित-ग्रहचार)
8. Чандравакьяс (चन्द्रवाक्यानि)

См. также

• Индийская астрономия
• История математики
• История математики в Индии

Литература

• Бахмутская Э. Я. Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV - XVIII вв // Историко-математические исследования . — М. : Физматгиз, 1960. — № 13 . — С. 325—334 .
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. Либроком, 2009, 184 с. (Физико-математическое наследие: математика). ISBN 978-5-397-00474-9 .
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. I.
• Стюарт, Иэн . Новатор бесконечности. Мадхава из Сангамаграмы // Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков. — М. : Альпина нон-фикшн, 2019. — 446 с. — ISBN 978-5-91671-946-8 .
• Bressoud, David. Was Calculus Invented in India? // The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.). — 2002. — Vol. 33, № 1 . — P. 2–13.
• Roy, Ranjan. Discovery of the Series Formula for ${\displaystyle \pi }$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha // Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.). — 1990. — Vol. 63, № 5 . — P. 291–306.

Ссылки

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон . (англ.) — биография в архиве MacTutor .
• Agrawal D. P. , 2001. (англ.)
• , MacTutor History of Mathematics archive, 2002. (англ.)
• , phys.org, 2007. (англ.)
• Pearce I. G. , MacTutor History of Mathematics archive, 2002. (англ.)

Примечания