Данная статья — часть обзора История математики .

Математика Востока, в отличие от древнегреческой математики , всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля , ремесло , строительство , география , астрономия , механика , оптика , наследование. Начиная с эллинистической эпохи, в странах Востока огромным уважением пользовалась персональная астрология , благодаря которой поддерживалась также репутация астрономии и математики.

Общая характеристика

Преследование греческих учёных-нехристиан в Римской империи V—VI веков вызвало их массовое бегство на восток, в Персию и Индию. При дворе Хосрова I они переводили античных классиков на сирийский язык , а два века спустя появились арабские переводы этих трудов. Так было положено начало ближневосточной математической школе . Большое влияние на неё оказала и индийская математика , также испытавшая сильное древнегреческое влияние (часть индийских трудов этого периода была написана греками-эмигрантами; например, известный александрийский астроном Паулос написал «Пулиса-сиддханта»). В начале IX века научным центром халифата становится Багдад , где халифы создают « Дом мудрости », в который приглашаются виднейшие учёные всего исламского мира. Большинство багдадских учёных этого периода были сабиями (харранские сабии — потомки вавилонских жрецов- звездопоклонников , традиционно сведущие в астрономии) или выходцами из Средней Азии ( Аль-Хорезми , Хаббаш аль-Хасиб , Аль-Фергани ) . На западе халифата, в испанской Кордове , сформировался другой научный центр, благодаря которому античные знания стали понемногу возвращаться в Европу .

Доступная нам история математики в странах Ближнего и Среднего Востока начинается в эпоху, следующую за эпохой мусульманского завоевания (VII—VIII века). Первая стадия этой истории состояла в переводе на арабский язык, изучении и комментировании трудов греческих и индийских авторов. Размах этой деятельности впечатляет — список арабских переводчиков и комментаторов одного только Евклида содержит более сотни имён. Арабский язык долгое время оставался общим языком науки для всего исламского мира. С XIII века появляются научные труды и переводы на персидском языке.

Ряд интересных математических задач, стимулировавших развитие сферической геометрии и астрономии, поставила перед математикой и сама религия ислама . Это задача о расчёте лунного календаря, об определении точного времени для совершения намаза , а также об определении киблы — точного направления на Мекку .

Несколько закрепившихся в математике терминов — такие, как алгебра , алгоритм , цифра — арабского происхождения.

В целом, эпоха исламской цивилизации в математических науках может быть охарактеризована не как эпоха поиска новых знаний, но — как эпоха передачи и улучшения знаний, полученных от греческих математиков. Типичные сочинения авторов этой эпохи, дошедшие до нас в большом количестве — это комментарии к трудам предшественников и учебные курсы по арифметике, алгебре, сферической тригонометрии и астрономии . Некоторые математики стран ислама виртуозно владели классическими методами Архимеда и Аполлония , но новых результатов получено немного. Среди них:

• Введение и первое применение десятичных дробей .
• Разработка численных методов : извлечение корней, суммирование рядов, решение уравнений.
• Открытие общего вида бинома Ньютона для натурального показателя степени.
• Открытие связи пятого постулата Евклида со многими геометрическими теоремами.
• Систематизация и расширение тригонометрии — как плоской, так и сферической , составление точных таблиц.

Главная историческая заслуга математиков исламских стран — сохранение античных знаний (в синтезе с более поздними индийскими открытиями) и содействие тем самым восстановлению европейской науки.

Числовая система

Арабская нумерация вначале была буквенной и, видимо, она финикийско-еврейского происхождения . Но с VIII века багдадская школа предложила индийскую позиционную систему, которая и прижилась.

Дроби в арабской математике, в отличие от теоретической арифметики древних греков, считались такими же числами, как и натуральные числа. Записывали их вертикально, как индийцы; черта дроби появилась около 1200 года. Наряду с привычными дробями в быту традиционно использовали разложение на египетские аликвотные дроби (вида 1/n), а в астрономии — 60-ричные вавилонские . Попытки ввести десятичные дроби делались, начиная с X века ( ал-Уклидиси ), однако дело продвигалось медленно. Только в XV веке ал-Каши изложил их полную теорию, после чего они получили некоторое распространение в Турции. В Европе первый набросок арифметики десятичных дробей появился раньше ( XIV век , Иммануил Бонфис из Тараскона), но победоносное их шествие началось в 1585 году ( Симон Стевин ).

Понятия отрицательного числа в исламской математике в целом выработано не было. Некоторым исключением стала книга « Мухаммедов трактат по арифметике » ал-Кушчи ( XV век ). Ал-Кушчи мог познакомиться с этой идеей, будучи в молодости послом Улугбека в Китае. Перевод этой книги на латинский впервые в Европе содержал термины positivus и negativus ( положительный и отрицательный ).

Математики исламского Средневековья

В IX веке жил Ал-Хорезми — сын зороастрийского жреца, прозванный за это ал-Маджуси ( маг ). Заведовал библиотекой «Дома мудрости», изучал индийские и греческие знания. Ал-Хорезми написал книгу « Об индийском счёте », способствовавший популяризации позиционной системы во всём Халифате , вплоть до Испании . В XII веке эта книга переводится на латинский, от имени её автора происходит наше слово « алгоритм » (впервые в близком смысле использовано Лейбницем ). Другое сочинение ал-Хорезми, « Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы », оказало большое влияние на европейскую науку и породило ещё один современный термин « алгебра ». В книге разбираются линейные и квадратные уравнения. Отрицательные корни игнорируются. Алгебры в нашем смысле тоже нет, всё разбирается на конкретных примерах, сформулированных словесно. Новые математические результаты в книгах ал-Хорезми фактически отсутствуют .

В развитии инфинитезимальных методов существенного продвижения не было. Сабит Ибн Курра вывел другим способом несколько результатов Архимеда , а также исследовал тела, полученные вращением сегмента параболы (купола). Ибн ал-Хайсам дополнил его результаты.

В средневековой исламской математике было сделано довольно много попыток доказать Пятый постулат Евклида . Чаще всего исследовалась фигура, позднее названная четырёхугольником Ламберта . Ал-Джаухари , Сабит ибн Курра , Омар Хайям и другие математики дали несколько ошибочных доказательств, явно или неявно используя один из многочисленных эквивалентов V постулата .

Одним из величайших учёных-энциклопедистов исламского мира был Ал-Бируни . Он родился в Кяте, столице Хорезма . В 1017 году афганский султан Махмуд захватил Хорезм и переселил Ал-Бируни в свою столицу, Газни . Несколько лет Ал-Бируни провёл в Индии. Главный труд Ал-Бируни — «Канон Мас‘уда», включающий в себя множество научных достижений разных народов, в том числе целый курс тригонометрии (книга III). В дополнение к таблицам синусов Птолемея (приведенных в уточнённом виде, с шагом 15'), Ал-Бируни даёт таблицы тангенса и котангенса (с шагом 1°), секанса и пр. Здесь же даются правила линейного и даже квадратичного интерполирования . Книга Ал-Бируни содержит приближённое вычисление стороны правильного вписанного девятиугольника, хорды дуги в 1°, числа ${\displaystyle \pi }$ и др.

Прославленный поэт и математик Омар Хайям ( XI — XII вв.) внёс вклад в математику своим сочинением «О доказательствах задач алгебры и аль-мукабалы», где изложил оригинальные методы решения кубических уравнений. До Хайяма был уже известен геометрический метод, восходящий к Менехму и развитый Архимедом : неизвестное строилось как точка пересечения двух подходящих конических сечений . Хайям привёл обоснование этого метода, классификацию типов уравнений, алгоритм выбора типа конического сечения, оценку числа положительных корней и их величины. Хайям, однако, не заметил возможности для кубического уравнения иметь три вещественных корня. До формул Кардано Хайяму дойти не удалось, но он высказал надежду, что явное решение будет найдено в будущем. В « Комментариях к трудностям во введениях книги Евклида » (ок. 1077 ), Хайям рассматривает иррациональные числа как вполне законные. В этой же книге Хайям пытается решить проблему пятого постулата , заменив его на более очевидный.

Насир ад-Дин ат-Туси , выдающийся персидский математик и астроном, наибольших успехов достиг в области сферической тригонометрии. В его «Трактате о полном четырёхстороннике» ( 1260 ) тригонометрия впервые была представлена как самостоятельная наука. Трактат содержит довольно полное и целостное построение всей тригонометрической системы, а также способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси. Сочинение ат-Туси стало широко известно в Европе и существенно повлияло на развитие тригонометрии. Ему принадлежит также первое известное нам описание извлечения корня любой степени; оно опирается на правило разложения бинома.

Джемшид Ибн Масуд ал-Каши , сотрудник школы Улугбека , написал сочинение « Ключ арифметики » ( 1427 ). Здесь вводится система десятичной арифметики, включающая учение о десятичных дробях, которыми ал-Каши постоянно пользовался. Он распространил геометрические методы Хайяма на решение уравнений 4-й степени. « Трактат об окружности » (1424) ал-Каши является блестящим образцом выполнения приближенных вычислений. Используя правильные вписанный и описанный многоугольники с числом сторон ${\displaystyle 3\cdot 2^{28}}$ (для вычисления стороны проводятся последовательные извлечения квадратных корней), аль-Каши для числа ${\displaystyle \pi }$ получил значение 3,14159265358979325 (ошибочна только последняя, 17-я цифра мантиссы ). В другой своей работе он сосчитал, что sin 1° = 0,017452406437283571 (все знаки верны — это примерно в два раза точнее, чем у ал-Бируни). Итерационные методы ал-Каши позволяли быстро численно решить многие кубические уравнения. Составленные ал-Каши самаркандские астрономические таблицы давали значения синусов от 0 до 45° через 1' с точностью до девяти десятичных знаков. В Европе такая точность была получена только полтора столетия спустя.

Галерея

• 
  Гравюра идеального компаса Абу Сахля аль-Кухи для рисования конического сечения.
• 
  Теорема ибн аль-Хайсама из «Книги оптики»
• 
  Первая страница рукописи из 2-х частей «Кубические уравнения и пересечение конических сечений» Омара Хайяма , хранящейся в Тегеранском университете

См. также

• Астрономия исламского Средневековья
• Золотой век ислама

Примечания

Литература

• Ал~Каши . Ключ арифметики. Трактат об окружности. Перевод Б. А. Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича. Комментарии А. П. Юшкевича и Б. А. Розенфельда. М., 1956.
• Ал-Хорезми. Математические трактаты. Перевод Ю. X. Копелевич и Б. А. Розенфельда. Комментарии Б. А. Розенфельда. Ташкент, 1964.
• Бируни . Памятники минувших поколений. Избранные произведения, т. 1. Перевод примечания М. А. Салье . Ташкент, 1957.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. (рус.) . ilib.mccme.ru . Дата обращения: 12 января 2019.
• История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. I.
• Ибн ал-Хайсам . Трактат об изопериметрических фигурах. Перевод и примечания Дж. ад-Даббаха.— ИМИ, 1966, т. XVII, 399—448.
• Ибн Корра . Книга о том, что две линии, проведенные под углом, меньшим двух прямых, встречаются. Перевод и примечания Б. А. Розенфельда.— ИМИ, 1963, т. XV. 363—380.
• Матвиевская Г. П., Розенфельд Б. А. (рус.) naturalhistory.narod.ru . Дата обращения: 12 января 2019.
• Рыбников К. А. История математики. М., 1994.
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.
• Туси Насирэддин . Трактат о полном четырёхстороннике. Перевод под редакцией Г. Д. Мамедбейли и Б. А. Розенфельда. Баку, 1952.
• Хаййам. Трактаты. Перевод Б. А Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля п А. П. Юшкевича. М., 1962.
• Hogendijk, Jan P. (неопр.) . web.archive.org . Дата обращения: 12 января 2019. .

Ссылки

• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.