Interested Article - Задача Бюффона о бросании иглы

Задача Бюффона о бросании иглы — один из первых примеров применения метода Монте-Карло и рассмотрения понятия . Задача была сформулирована Бюффоном в 1777 году . Оказалось, что эта задача сделала возможным определение числа π вероятностными методами.

Суть задачи

Суть метода была в бросании иглы длиной на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии друг от друга (см. Рис. 1).

Рисунок 1. Метод Бюффона
Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о вероятности, а о математическом ожидании количества пересечений за один опыт; вероятностью это становится лишь при условии, что ) того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:

, где

  • — расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;
  • — угол иглы относительно прямых.

При условии, что получается решение: . Таким образом, подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить число Пи. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы . Результаты представлены в следующей таблице:

Число бросаний Число пересечений Длина иглы Расстояние между прямыми Вращение Значение Пи Ошибка
Первая попытка 500 236 3 4 отсутствует 3.1780 −0.03640734
Вторая попытка 530 253 3 4 присутствует 3.1423 −0.00070734
Третья попытка 590 939 5 2 присутствует 3.1416 +0.00000734

Комментарии:

  • Вращение плоскости применялось (и как показывают результаты — успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку .
  • В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.

Вариации и обобщения

  • Задача о макаронине Бюффона — вариант задачи для кривых.

Примечания

  1. от 30 января 2012 на Wayback Machine (англ.)
  2. A.Hall. : [ 7 марта 2016 ] // The Messenger of Mathematics. — 1872. — Vol. 2. — P. 113-114.
  3. Ramaley, J. F. (1969). (PDF) . The American Mathematical Monthly . Mathematical Association of America. 76 (8, October 1969): 916—918. doi : . ISSN . JSTOR . Архивировано из (PDF) 14 января 2020 . Дата обращения: 23 ноября 2020 .

Литература

  • Федотов Н. Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов. — М. : Радио и связь, 1990. — 142 с.
Источник —

Same as Задача Бюффона о бросании иглы