Interested Article - Дробь (математика)

числитель
числитель знаменатель знаменатель
Две записи одной дроби

Дробь в арифметике число , состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы .

В математике используется несколько обобщённое определение, различающее два типа дробей.

  1. Обыкновенные дроби вида , где целое , натуральное . В отличие от арифметического определения, такая дробь может иметь знак минус .
  2. Запись (не обязательно дробных) чисел в позиционных системах счисления . Наиболее известны десятичные дроби , удобные для людей, и двоичные дроби , которые используются для расчётов на компьютерах .

В математической записи дроби вида или число перед (над) чертой называется числителем , а число после черты (под чертой) — знаменателем . Первый выступает в роли делимого , второй — делителя .

В общей алгебре обыкновенные дроби образуют поле , называемое полем рациональных чисел .

Виды дробей

Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби 3/4

Обыкновенная (или простая ) дробь — запись числа в виде или где — целое, а — натуральное число. Горизонтальная [называется винкулум] или косая [солидус] черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель знаменателем .

Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

  • ½,
  • 1/2 (такая наклонная черта называется «слеш»),
  • (такая наклонная черта называется «солидус» ),
  • выключная формула: ,
  • строчная формула: .

Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби , и — правильные, в то время как , , и — неправильные. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем .

Смешанные числа

Число, записанное в виде натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом (или смешанной дробью ) и понимается как сумма этого натурального числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанного числа (с добавлением спереди знака «минус» для отрицательных чисел). В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой .

Например, .

Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

или или .

Вообще говоря, знак дроби в таком обобщённом смысле применяется не только для дробей, но и для компактного обозначения деления, причём даже не только целых чисел, но и любых действительных и комплексных чисел, функций, многочленов и тому подобных операндов различных операций деления.

Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби, в которой знаменатель не дан в явном виде, но понимается как целое число, степень десяти (напр. 100, 1000 и др). Она выглядит следующим образом (знак вне арифметических выражений обычно опускается):

Часть записи, которая стоит до запятой , в случае неотрицательной дроби является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью . Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную , которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью .

Пример: десятичная дробь в формате обыкновенной дроби равна .

Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд. Например, 1/3 = 0,333… представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …

Десятичные дроби также могут быть выражены в экспоненциальном представлении с отрицательными показателями, например запись 6,023 × 10 −7 , означает 0,0000006023 (умножение на , или, что то же, деление на перемещает знак запятой на 7 разрядов влево).

Другой вид дроби представляет собой процент ( лат. Pro Centum — «на сто»), представленный символом % , в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51 % означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311 % равняется 311/100, а −27 % равняется −27/100.

Схожее понятие промилле или частей на тысячу подразумевает знаменатель 1000 . Распространенным обозначением частей на миллион является ( англ. parts per million — ppm), Например 75 ppm, означает, что пропорция составляет 75 / 1000000.

Международная система единиц
Международное обозначение Русское Система СИ
ppm млн −1 ; 1:10 6 микро (мк)
ppb млрд −1 ; 1:10 9 нано (н)
ppt трлн −1 ; 1:10 12 пико (п)
ppquad квадрлн −1 ; 1:10 15 фемто (ф)

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева ).

Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель , то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

— здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель .

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты , то есть не имеют общих делителей, кроме

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, кроме случаев окончания записи бесконечной последовательностью либо только нулей (которые можно опустить), либо только девяток. Например:

— две разные записи дроби соответствуют одному числу ;
.

Действия с дробями

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь .

Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать ( привести ) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: и . Порядок действий:

  • Находим наименьшее общее кратное знаменателей: .
  • Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на .
  • Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на .

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в .

Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем и . . Приводим дроби к знаменателю .

Следовательно,

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

Пример 1 : + = + =

НОК знаменателей (здесь и ) равно . Приводим дробь к знаменателю , для этого числитель и знаменатель надо умножить на .
Получилось . Приводим дробь к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на . Получилось .
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

= =

НОК знаменателей (здесь и ) равно . Приводим дробь к знаменателю , для этого надо числитель и знаменатель умножить на . Получаем .

Пример 2 :

Умножение и деление

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

Определим обратную дробь для дроби как дробь (здесь ). Тогда, согласно определению умножения, произведение дроби на обратную к ней равно 1:

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

Например:

Возведение в степень и извлечение корня

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель в эту же степень:

Пример:

Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь соответствующий корень из числителя и знаменателя:

Пример:

Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью . Примеры:

— бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

Бесконечная десятичная дробь, вообще говоря, не может быть точно представлена как обыкновенная. Исключением являются периодические десятичные дроби , для которых такое представление всегда возможно .

Пример (см. также Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную ). Преобразуем периодическую дробь в обыкновенную дробь. Обозначим , тогда откуда: или: В итоге получаем:

История и этимология термина

Русский термин дробь , как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura , который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять . Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд .

Дроби вычислялись ещё в Древнем Египте . До наших дней сохранились математические источники о египетских дробях : Математический папирус Ринда (ок. 1650 год до н. э.) , Египетский математический кожаный свиток (XVII век до н. э.) , Московский математический папирус (ок. 1850 год до н. э.), (ок. 1950 год до н. э.) .

В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде « Математика в девяти книгах » (X—II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном . Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске ( суаньпань ). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную . Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси , жившего на пять веков раньше .

Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными . Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из Древней Индии — вначале его позаимствовали арабы , а затем, в XII - XVI веках , — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа записывались таким способом: Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — Фибоначчи (Леонардо Пизанский) . Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке ( Тарталья , Клавиус ).

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как или 42 5 ① 3 ② , где 0 в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII века .

На Руси дроби называли долями . В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числами . Термин дробь , как аналог латинского fractura , используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Обобщения

См. также

Примечания

  1. .
  2. Бронштейн И. Н. , Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов . — изд. 13-е. — М. : Наука, 1985. — С. 130. — 544 с.
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .
  8. .
  9. .
  10. .

Литература

На русском:

  • Дробь арифметическая // . — Москва: Советская Энциклопедия , 1982. — Т. 2. — С. 389—390.
  • Математика: Учеб. для 5 кл. средн. шк. / под ред. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 4-е изд. — Чебоксары: Чув. кн. изд-во, 1997. — С. 202—203, 230.
  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1983. — С. 51. — 480 с.

На английском:

  • Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // (англ.) . — Princeton University Press , 2007. — P. . — ISBN 978-0-691-11485-9 .
  • Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer (англ.) . — 1997. — ISBN 3-540-33782-2 .
  • William K. Simpson. An Additional Fragment from the "Hatnub" Stela // Journal of Near Eastern Studies. — 1961. — Январь ( т. 20 , № 1 ). — С. 25—30 .
  • Clagett, Marshall. Memoirs of the American Philosophical Society 232 // Ancient Egyptian Science: A Source Book. — Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. — Т. 3. — С. 17—18, 25, 37—38, 255—257.

Ссылки

  • (англ.) . British Museum. Дата обращения: 13 января 2019.
  • . Справочник ПараТайп .
Источник —

Same as Дробь (математика)