Бесконечно малая — числовая функция или последовательность , предел которой равен нулю .

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, стремящаяся к (предел которой равен) бесконечности определённого знака.

В нестандартном анализе бесконечно малые и бесконечно большие определяются не как последовательности и не как переменные величины, а как особый вид чисел.

Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений , составляющих основу современной высшей математики . Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая

Последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ называется бесконечно малой , если ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}$ . Например, последовательность чисел ${\displaystyle a_{n}={\dfrac {1}{n}}}$ — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ , если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=0}$ .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности , если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=0}$ либо ${\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=0}$ .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=a}$ , то ${\displaystyle f(x)-a=\alpha (x)}$ , ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }(f(x)-a)=0}$ .

Подчеркнём, что бесконечно малую величину следует понимать как переменную величину (функцию), которая лишь в процессе своего изменения [при стремлении ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle a}$ (из ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=0}$ )] делается меньше произвольного числа ( ${\displaystyle \varepsilon }$ ). Поэтому, например, утверждение типа «одна миллионная есть бесконечно малая величина» неверно: о числе [абсолютном значении] не имеет смысла говорить, что оно бесконечно малое .

Бесконечно большая

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция ${\displaystyle x\sin x}$ , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при ${\displaystyle x\to +\infty }$ .

Последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ называется бесконечно большой , если ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$ .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ , если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }$ .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности , если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=\infty }$ либо ${\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=\infty }$ .

Как и в случае бесконечно малых, необходимо отметить, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно большой величины не может быть названо как «бесконечно большое» — бесконечно большая величина — это функция , которая лишь в процессе своего изменения может стать больше произвольно взятого числа.

Свойства бесконечно малых

• Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
• Если ${\displaystyle a_{n}}$ — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то ${\displaystyle b_{n}={\dfrac {1}{a_{n}}}}$ — бесконечно большая последовательность.

Сравнение бесконечно малых

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же ${\displaystyle x\to a}$ величины ${\displaystyle \alpha (x)}$ и ${\displaystyle \beta (x)}$ (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0}$ , то ${\displaystyle \beta }$ — бесконечно малая высшего порядка малости , чем ${\displaystyle \alpha }$ . Обозначают ${\displaystyle \beta =o(\alpha )}$ или ${\displaystyle \beta \prec \alpha }$ .
• Если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty }$ , то ${\displaystyle \beta }$ — бесконечно малая низшего порядка малости , чем ${\displaystyle \alpha }$ . Соответственно ${\displaystyle \alpha =o(\beta )}$ или ${\displaystyle \alpha \prec \beta }$ .
• Если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c}$ (предел конечен и не равен 0), то ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости . Это обозначается как ${\displaystyle \alpha \asymp \beta }$ или как одновременное выполнение отношений ${\displaystyle \beta =O(\alpha )}$ и ${\displaystyle \alpha =O(\beta )}$ . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.
• Если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c}$ (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина ${\displaystyle \beta }$ имеет ${\displaystyle m}$ -й порядок малости относительно бесконечно малой ${\displaystyle \alpha }$ .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя .

Примеры сравнения

• При ${\displaystyle {x\to 0}}$ величина ${\displaystyle x^{5}}$ имеет высший порядок малости относительно ${\displaystyle x^{3}}$ , так как ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0}$ . С другой стороны, ${\displaystyle x^{3}}$ имеет низший порядок малости относительно ${\displaystyle x^{5}}$ , так как ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty }$ .

С использованием О -символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде ${\displaystyle x^{5}=o(x^{3})}$ .

• ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x+6}{1}}=\lim \limits _{x\to 0}(2x+6)=6,}$ то есть при ${\displaystyle x\to 0}$ функции ${\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}$ и ${\displaystyle g(x)=x}$ являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи ${\displaystyle 2x^{2}+6x=O(x)}$ и ${\displaystyle x=O(2x^{2}+6x).}$

• При ${\displaystyle {x\to 0}}$ бесконечно малая величина ${\displaystyle 2x^{3}}$ имеет третий порядок малости относительно ${\displaystyle x}$ , поскольку ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x^{3}}{x^{3}}}=2}$ , бесконечно малая ${\displaystyle 0{,}7x^{2}}$ — второй порядок, бесконечно малая ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ — порядок 0,5.

Эквивалентные величины

Определение

Если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=1}$ , то бесконечно малые или бесконечно большие величины ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ называются эквивалентными (обозначается как ${\displaystyle \alpha \thicksim \beta }$ ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых (бесконечно больших) величин одного порядка малости.

При ${\displaystyle \alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}0}$ справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов ):

• ${\displaystyle \sin \alpha (x)\thicksim \alpha (x);}$
• ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);}$
• ${\displaystyle \arcsin {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x);}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)}$
• ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);}$
• ${\displaystyle \log _{a}(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a}}}}$ , где ${\displaystyle a>0}$ , ${\displaystyle a\neq 1}$ ;
• ${\displaystyle \ln(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x);}$
• ${\displaystyle a^{\alpha (x)}-1\thicksim \alpha (x)\cdot \ln {a}}$ , где ${\displaystyle a>0}$ ;
• ${\displaystyle e^{\alpha (x)}-1\thicksim \alpha (x);}$
• ${\displaystyle 1-\cos {\alpha (x)}\thicksim {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2}};}$
• ${\displaystyle (1+\alpha (x))^{\mu }-1\thicksim \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb {R} }$ , поэтому используют выражение:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1+\alpha (x)}}\approx {\frac {\alpha (x)}{n}}+1}$ , где ${\displaystyle \alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}0}$ .

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых или бесконечно больших величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной .

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Примеры использования

• Найти ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin 2x}{x}}.}$

Заменяя ${\displaystyle \sin 2x}$ эквивалентной величиной ${\displaystyle 2x}$ , получаем

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin 2x}{x}}=\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x}{x}}=2.}$

• Найти ${\displaystyle \lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x}}.}$

Так как ${\displaystyle \sin(4\cos x)\thicksim {4\cos x}}$ при ${\displaystyle x\to {\dfrac {\pi }{2}}}$ получим

${\displaystyle \lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x}}=\lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {4\cos x}{\cos x}}=4.}$

• Вычислить ${\displaystyle {\sqrt {1{,}2}}}$ .

: ${\displaystyle {\sqrt {1{,}2}}\approx 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1}$ , тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили: ${\displaystyle {\sqrt {1{,}2}}\approx 1{,}095}$ , таким образом ошибка составила 0,005 (менее 1 %), то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.

История

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» — разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (положительной) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые ( дифференциалы ), и затем — в его интегрировании .

Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть « набор гениальных ошибок »; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков .

Споры в Парижской Академии наук по вопросам обоснования анализа приобрели настолько скандальный характер, что Академия однажды вообще запретила своим членам высказываться на эту тему (в основном это касалось Ролля и Вариньона). В 1706 году Ролль публично снял свои возражения, однако дискуссии продолжались.

В 1734 году известный английский философ, епископ Джордж Беркли выпустил нашумевший памфлет, известный под сокращённым названием « ». Полное его название: « Аналитик или рассуждение, обращённое к неверующему математику, где исследуется, более ли ясно воспринимаются или более ли очевидно выводятся предмет, принципы и умозаключения современного анализа, чем религиозные таинства и догматы веры ». «Аналитик» содержал остроумную и во многом справедливую критику исчисления бесконечно малых. Метод анализа Беркли считал несогласным с логикой и писал, что, « как бы он ни был полезен, его можно рассматривать только как некую догадку; ловкую сноровку, искусство или скорее ухищрение, но не как метод научного доказательства ». Цитируя фразу Ньютона о приращении текущих величин «в самом начале их зарождения или исчезновения», Беркли иронизирует: « это ни конечные величины, ни бесконечно малые, ни даже ничто. Не могли ли бы мы их назвать призраками почивших величин?.. И как вообще можно говорить об отношении между вещами, не имеющими величины?.. Тот, кто может переварить вторую или третью флюксию [производную], вторую или третью разность, не должен, как мне кажется, придираться к чему-либо в богословии ».

Невозможно, пишет Беркли, представить себе мгновенную скорость, то есть скорость в данное мгновение и в данной точке, ибо понятие движения включает понятия о (конечных ненулевых) пространстве и времени.

Как же с помощью анализа получаются правильные результаты? Беркли пришёл к мысли, что это объясняется наличием в аналитических выводах взаимокомпенсации нескольких ошибок, и проиллюстрировал это на примере параболы. Как ни странно, некоторые крупные математики (например, Лагранж ) согласились с ним.

Сложилась парадоксальная ситуация, когда строгость и плодотворность в математике мешали одна другой. Несмотря на использование незаконных действий с плохо определёнными понятиями, число прямых ошибок было на удивление малым — выручала интуиция. И всё же весь XVIII век математический анализ бурно развивался, не имея по существу никакого обоснования. Эффективность его была поразительна и говорила сама за себя, но смысл дифференциала по-прежнему был неясен. Особенно часто путали бесконечно малое приращение функции и его линейную часть.

В течение всего XVIII века предпринимались грандиозные усилия для исправления положения, причём в них участвовали лучшие математики столетия, однако убедительно построить фундамент анализа удалось только Коши в начале XIX века. Он строго определил базовые понятия — предел, сходимость, непрерывность, дифференциал и др., после чего актуальные бесконечно малые исчезли из науки. Некоторые оставшиеся тонкости разъяснил позднее Вейерштрасс . В настоящее время термин «бесконечно малая» математики в подавляющем большинстве случаев относят не к числам, а к функциям и последовательностям .

Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине XX века нестандартного анализа , который доказал, что первоначальная точка зрения — актуальные бесконечно малые — также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа. С появлением нестандартного анализа стало ясно, почему математики XVIII века, выполняя незаконные с точки зрения классической теории действия, тем не менее получали верные результаты.

См. также

• «O» большое и «o» малое
• Дифференциал (математика)
• Метод неделимых
• Предел последовательности
• Предел функции

Примечания

Литература

• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.