Interested Article - Доказательство от противного

Доказательство «от противного» ( лат. contradictio in contrarium ), или апагогическое косвенное доказательство , — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения ( тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса . Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике .

Этот способ очень важен для математики , где существует много суждений, которые не могут быть доказаны по-другому .

Схема доказательства

Доказательство утверждения проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение , которое заведомо неверно.

Из определения импликации следует, что, если ложно, то формула истинна тогда и только тогда, когда ложно, следовательно утверждение истинно.

Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению .

В интуиционистской логике доказательство от противного не принимается, так же как не действует закон исключённого третьего .

Примеры

В математике

Доказательство иррациональности числа .

Допустим противное: число рационально , то есть представляется в виде несократимой дроби , где целое число , а натуральное . Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

, откуда .

Отсюда следует, что чётно , значит, чётно и ; следовательно, делится на 4, а значит, и тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и иррациональное число .

В повседневной жизни

Врач, разъясняя пациенту что тот не болен гриппом, может использовать такие рассуждения: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но всё это у вас отсутствует, значит, нет и гриппа» .

См. также

Примечания

  1. Косвенное доказательство//Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А. А. Ивина . 2004.
  2. Доказательство от противного//Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А. А. Ивина . 2004.
  3. Доказательство от противного // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров . — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Источник —

Same as Доказательство от противного