Interested Article - Синус-верзус
- 2021-02-23
- 1
Синус-верзус (sinus versus — обращённый синус; другие написания: версинус , синус версус , называется также «стрелка дуги» ) — одна из редко используемых тригонометрических функций . Синус-верзус угла обозначается символом иногда используются обозначения
Определение
Синус-верзус определяется с помощью синуса и косинуса как
Синус-верзус вместе с косинусом составляет радиус окружности.
Свойства
Версинус — периодическая функция с периодом 2 π . Определена, непрерывна и бесконечно дифференцируема для всех действительных чисел.
Синус-верзус определён через отношение эксеканса и секанса по формуле
versin(x) = exsec(x)/sec(x).
Если взять произведение синус-верзуса и косинуса, затем прибавить к этому произведению произведение коверсинуса и синуса, то получаем основное тригонометрическое тождество
versin(x)*cos(x) + coversin(x)*sin(x) =
= 1-cos(x)*cos(x) + 1-sin(x)*sin(x)=
= 1-cos^2(x) + 1-sin^2(x)=
= sin^2(x) + cos^2(x) = 1.
Версинус можно использовать в плоскости комплексных чисел.
От функции синус-верзуса можно получить другие функции:
1) Получение гаверсинуса
versin(x)/2 = haversin(x)
2) Получение квадратных тригонометрических функций
versin(x)*cos(x) = 1-cos(x)*cos(x) =
=1-cos^2(x) = sin^2(x)
1-(versin(x)*cos(x)) = 1-(1-cos(x)*cos(x))=
= 1-(1-cos^2(x)) = 1-sin^2(x) = cos^2(x)
3) Получение трёх квадратных тригонометрических функций и выведение к тригонометрическим тождествам
((versin(x)*cos(x))+(coversin(x)*sin(x)))+tg^2(x) =(sin^2(x)+cos^2(x))+tg^2(x) = 1+tg^2(x) = =1/cos^2(x) = sec^2(x)
((versin(x)*cos(x))+(coversin(x)*sin(x)))+ctg^2(x) = (sin^2(x)+cos^2(x))+ctg^2(x) = 1+ctg^2(x) = =1/sin^2(x) = csc^2(x)
Производная версинуса — синус:
Синус-верзус может определяться через гаверсинус или функцию аккорда, то есть
versin(x) = haversin(x)*2 = sin^2(x/2)*2
versin(x) = crd(x)*sin(x/2)= 2sin(x/2)*sin(x/2)
История и использование
Синус-верзус играл важную роль в навигации по звёздам , а также был удобен для ручных расчётов с использованием логарифмов.
См. также
Примечания
Литература
- M. Abramowitz, I. A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (9)1972, New York: Dover,
Ссылки
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
- 2021-02-23
- 1