Основное тригонометрическое тождество — соотношение ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$ , выполняющееся для произвольного значения ${\displaystyle \alpha }$ . Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге ; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза , будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице .

Доказательства

Используя единичную окружность

Единичная окружность с центром в начале координат определяется уравнением ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ . Пускай на окружности лежит точка P , расположенная под углом θ от оси абсцисс . Тогда координаты этой точки: ${\displaystyle x=\cos \theta ;\ y=\sin \theta }$ . Соответственно исходя из уравнения окружности получаем: ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$ .

Используя прямоугольный треугольник

По определению, синус это отношение противоположного катета к гипотенузе, косинус — отношение прилегающего катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c получаем:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{c}}}$

Возведём эти выражения в квадрат и прибавим: ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}}$ . Согласно теореме Пифагора, ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ , следовательно ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1}$ .

См. также

• Тригонометрические тождества
• Список математических тождеств

Примечания