Непрерывная функция — функция , которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами ), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение , тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой . Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения. Вариацию этого понятия для функций комплексной переменной см. в статье Комплексный анализ .

Определение

Пусть ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ . Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке ${\displaystyle x_{0}\in D}$ .

• Определение через предел : функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , предельной для множества ${\displaystyle D}$ , если ${\displaystyle f}$ имеет предел в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , и этот предел совпадает со значением функции ${\displaystyle f(x_{0})}$ :

  ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$

• Определение, использующее ε-δ-формализм : функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}\in D}$ , если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что для любого ${\displaystyle x\in D}$ ,

  ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$

Комментарий: По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента ${\displaystyle x}$ удовлетворять условию ${\displaystyle 0<\left\vert x-a\right\vert }$ , то есть быть отличными от а.

• Определение, использующее o-символику : функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , если

  ${\displaystyle f(x_{0}+\delta )=f(x_{0})+o(1)}$ , при ${\displaystyle \delta \to 0}$ .

• Определение через колебания : функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на множестве ${\displaystyle E}$ , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция ${\displaystyle f}$ класса ${\displaystyle C^{0}}$ и пишут: ${\displaystyle f\in C^{0}(E)}$ или, подробнее, ${\displaystyle f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )}$ .

Точки разрыва

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв . Другими словами, если ${\displaystyle A}$ — значение функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle a}$ , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с ${\displaystyle A}$ . На языке окрестностей условие разрывности функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle a}$ получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки ${\displaystyle A}$ области значений функции ${\displaystyle f}$ , что как бы мы близко не подходили к точке ${\displaystyle a}$ области определения функции ${\displaystyle f}$ , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки ${\displaystyle A}$ .

Классификация точек разрыва в ℝ¹

Классификация разрывов функций ${\displaystyle f:X\to Y}$ зависит от того, как устроены множества X и Y . Здесь приведена классификация для простейшего случая — ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ . Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов :

• если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода . К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки .
• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода . К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва .

• 
  Устранимый разрыв
• 
  Разрыв типа «скачок»
• 
  Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x=2 — получится разрыв «полюс».
• 
  Точка существенного разрыва

Устранимая точка разрыва

Если предел функции существует и конечен , но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)}$ ,

то точка ${\displaystyle a}$ называется точкой устранимого разрыва функции ${\displaystyle f}$ (при отсутствии ${\displaystyle f(a)}$ — устранимая особая точка ).

Если «поправить» функцию ${\displaystyle f}$ в точке устранимого разрыва и положить ${\displaystyle f(a):=\lim \limits _{x\to a}f(x)}$ , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности , что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок»

Разрыв «скачок» (особая точка «скачок») возникает, если

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)}$ , и пределы конечны.

Точка разрыва «полюс»

Разрыв «полюс» (особая точка «полюс») возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty }$ или ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty }$ . ^{[ источник не указан 2993 дня ]}

Точка существенного разрыва

В точке существенного разрыва (существенной особой точке) хотя бы один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в ℝ ⁿ , n>1

Для функций ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация изолированных особых точек (то есть таких, где в какой-то окрестности нет других особых точек) сходная.

• Если ${\displaystyle \exists \lim \limits _{x\to a}f(x)}$ , то это устранимая особая точка (аналогично функции действительного аргумента).
• Полюс определяется как ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty }$ . В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что ${\displaystyle f(x)\to \infty }$ , каким путём бы он ни рос. ^{[ источник не указан 2993 дня ]}
• Если предел вообще не существует, это существенная особая точка .

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка.

Свойства

Локальные

• Функция, непрерывная в точке ${\displaystyle a}$ , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle f(a)>0}$ (или ${\displaystyle f(a)<0}$ ), то ${\displaystyle f(x)>0}$ (или ${\displaystyle f(x)<0}$ ) для всех ${\displaystyle x}$ , достаточно близких к ${\displaystyle a}$ .
• Если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ непрерывны в точке ${\displaystyle a}$ , то функции ${\displaystyle f+g}$ и ${\displaystyle f\cdot g}$ тоже непрерывны в точке ${\displaystyle a}$ .
• Если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ непрерывны в точке ${\displaystyle a}$ и при этом ${\displaystyle g(a)\neq 0}$ , то функция ${\displaystyle f/g}$ тоже непрерывна в точке ${\displaystyle a}$ .
• Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$ и функция ${\displaystyle g}$ непрерывна в точке ${\displaystyle b=f(a)}$ , то их композиция ${\displaystyle h=g\circ f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$ .

Глобальные

• Теорема о равномерной непрерывности : функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве ), равномерно непрерывна на нём.
• Теорема Вейерштрасса о функции на компакте : функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве ), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции ${\displaystyle f}$ , непрерывной на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ , является отрезок ${\displaystyle [\min f,\ \max f],}$ где минимум и максимум берутся по отрезку ${\displaystyle [a,b]}$ .
• Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,}$ то существует точка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ в которой ${\displaystyle f(\xi )=0}$ .
• Теорема о промежуточном значении : если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и число ${\displaystyle \varphi }$ удовлетворяет неравенству ${\displaystyle f(a)<\varphi <f(b)}$ или неравенству ${\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),}$ то существует точка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ в которой ${\displaystyle f(\xi )=\varphi }$ .
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна .
• Монотонная функция на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами ${\displaystyle f(a)}$ и ${\displaystyle f(b)}$ .
• Если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ непрерывны на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ , причем ${\displaystyle f(a)<g(a)}$ и ${\displaystyle f(b)>g(b),}$ то существует точка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ в которой ${\displaystyle f(\xi )=g(\xi ).}$ Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку .
• График непрерывной на отрезке функции является кривой .

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены , рациональные функции , показательные функции , логарифмы , тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ задаваемая формулой

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}}$

непрерывна в любой точке ${\displaystyle x\neq 0.}$ Точка ${\displaystyle x=0}$ является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).}$

Функция знака

Функция

${\displaystyle f(x)=\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

называется функцией знака .

Эта функция непрерывна в каждой точке ${\displaystyle x\neq 0}$ .

Точка ${\displaystyle x=0}$ является точкой разрыва первого рода , причём

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)}$ ,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Функция Хевисайда

Функция Хевисайда , определяемая как

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

является всюду непрерывной, кроме точки ${\displaystyle x=0}$ , где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке ${\displaystyle x=0}$ существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения .

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

является примером непрерывной слева функции на всей области определения .

Функция Дирихле

Функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

называется функцией Дирихле . По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел . Эта функция разрывна в каждой точке , поскольку в сколь угодно малой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&x={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} ,\ {\text{НОД}}(m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

называется функцией Римана или «функцией Тома».

Эта функция непрерывна на множестве иррациональных чисел ( ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ), поскольку предел функции в каждой иррациональной точке равен нулю (если последовательность ${\displaystyle x_{k}=m_{k}/n_{k}\to x\notin \mathbb {Q} }$ , то с необходимостью ${\displaystyle n_{k}\to \infty }$ ). Во всех же рациональных точках она разрывна.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность

Функция ${\displaystyle f}$ называется равномерно непрерывной на ${\displaystyle E}$ , если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ таких, что ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$ , выполняется ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$ .

Каждая равномерно непрерывная на множестве ${\displaystyle E}$ функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху :

• функция ${\displaystyle f}$ называется полунепрерывной снизу в точке ${\displaystyle a}$ , если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такая окрестность ${\displaystyle U_{E}(a)}$ , что ${\displaystyle f(x)>f(a)-\varepsilon }$ для всякого ${\displaystyle x\in U_{E}(a)}$ ;
• функция ${\displaystyle f}$ называется полунепрерывной сверху в точке ${\displaystyle a}$ , если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такая окрестность ${\displaystyle U_{E}(a)}$ , что ${\displaystyle f(x)<f(a)+\varepsilon }$ для всякого ${\displaystyle x\in U_{E}(a)}$ .

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

• если взять функцию ${\displaystyle f}$ , непрерывную в точке ${\displaystyle a}$ , и уменьшить значение ${\displaystyle f(a)}$ (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке ${\displaystyle a}$ ;
• если взять функцию ${\displaystyle f}$ , непрерывную в точке ${\displaystyle a}$ , и увеличить значение ${\displaystyle f(a)}$ (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке ${\displaystyle a}$ .

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

• если ${\displaystyle f(a)=-\infty }$ , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке ${\displaystyle a}$ ;
• если ${\displaystyle f(a)=+\infty }$ , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке ${\displaystyle a}$ .

Односторонняя непрерывность

Функция ${\displaystyle f}$ называется непрерывной слева (справа) в точке ${\displaystyle x_{0}}$ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: ${\displaystyle f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)}$ ${\displaystyle (f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)).}$

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега . Если функция ${\displaystyle f}$ такова, что она непрерывна всюду на ${\displaystyle E}$ , кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду .

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Примечания

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М. : Физматлит, 1984. — 544 с.