Формула Муавра для комплексного числа ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ утверждает, что :

${\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )}$

для любого целого числа ${\displaystyle n}$ .

Названа в честь английского математика Абрахама де Муавра , в трудах которого была приведена формула, эквивалентная приведённой (1707, далее 1722 и 1740 годы), в современной символике она опубликована Эйлером .

Извлечение корней

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n -й степени из ненулевого комплексного числа :

${\displaystyle z^{1/n}={\big [}r{\big (}\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k){\big )}{\big ]}^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),}$

где ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}$ .

Из этой формулы следует, что корни ${\displaystyle n}$ -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно ${\displaystyle n}$ . На комплексной плоскости, как видно из той же формулы, все эти корни являются вершинами правильного n -угольника , вписанного в окружность радиуса ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$ с центром в нуле.

Связь с формулой Эйлера

Исторически формула Муавра была доказана ранее формулы Эйлера :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

однако немедленно следует из неё.

Для любого целого ${\displaystyle n}$ верно

${\displaystyle (e^{ix})^{n}=e^{inx}.}$

По формуле Эйлера левая часть равна ${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}}$ , в то время как правая равна

${\displaystyle e^{inx}=\cos nx+i\sin nx.}$

Примечания

Литература

• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1972. — Т. III.
• Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М. : Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.
• Ahlfors Lars V. . — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1 .