Многомерное шкалирование — метод анализа и визуализации данных с помощью расположения точек , соответствующих изучаемым (шкалируемым) объектам, в пространстве меньшей размерности , чем пространство признаков объектов. Точки размещаются так, чтобы попарные расстояния между ними в новом пространстве как можно меньше отличались от эмпирически измеренных расстояний в пространстве признаков изучаемых объектов. Если элементы матрицы расстояний получены по интервальным шкалам , метод многомерного шкалирования называется метрическим . Когда шкалы являются порядковыми, метод многомерного шкалирования называется неметрическим. Мера различий расстояний в исходном и новом пространстве называется функцией стресса.

Мера качества отображения. Мерой, наиболее часто используемой для оценки качества подгонки модели (отображения), измеряемого по степени воспроизведения исходной матрицы сходств, является стресс.

Области применения

• Поиск скрытых переменных , объясняющих полученную из опыта структуру попарных расстояний между изучаемыми явлениями.
• Проверка гипотез о расположении изучаемых явлений в пространстве скрытых переменных .
• Сжатие полученное опытным путём массива данных путём использования небольшого числа скрытых переменных .
• Наглядное представление данных .

Функция расстояния

Функцией расстояния называется функция от двух аргументов, которая ставит в соответствие двум шкалируемым объектам расстояние ${\displaystyle d(a_{i},a_{j})}$ между ними так, что выполняются следующие аксиомы : ${\displaystyle d(a_{i},a_{j})=0}$ в том и только том случае, когда объекты ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle a_{j}}$ совпадают ( рефлексивность расстояния), ${\displaystyle d(a_{i},a_{j})=d(a_{j},a_{i})}$ ( симметричность расстояния), ${\displaystyle d(a_{i},a_{j})+d(a_{j},a_{k})\geqslant d(a_{i},a_{k})}$ ( правило треугольника ) .

Функция близости

Функция близости менее формализована , так как она является опытной величиной, например, получаемой в ходе социологического опроса . Это функция ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})}$ от двух аргументов, которая двум шкалируемым объектам ставит в соответствие расстояние ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})}$ между ними так, что выполняются следующие аксиомы: ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})\geqslant s(a_{i},a_{i})}$ (объект ближе к самому себе, чем к любому другому объекту), ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})=s(a_{j},a_{i})}$ (симметричность близости), для больших значений ${\displaystyle s(a_{i},a_{j})}$ и ${\displaystyle s(a_{j},a_{k})}$ величина ${\displaystyle s(a_{i},a_{k})}$ имеет, по крайней мере, тот же порядок (ослабленное правило треугольника ).

Примечания

Литература

• Толстова Ю. Н. Основы многомерного шкалирования. — М. : КДУ, 2006. — 160 с. — ISBN 5-98227-100-4 .
• Многомерное шкалирование: методы наглядного представления данных. — М. : Финансы и статистика, 1988. — 254 с. — ISBN 5-279-00276-3 .
• Айвазян С. А. , Бухштабер В. М. , и др. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности. — М. : Финансы и статистика, 1989. — 607 с.