Антикоммутативность — свойство мультипликативной бинарной операции в кольце : ${\displaystyle x^{2}=x\cdot x=0}$ .

Из определения вытекает тождество ${\displaystyle x\cdot y+y\cdot x=0}$ , так как выражение ${\displaystyle (x+y)\cdot (x+y)}$ равно:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=x\cdot (x+y)+y\cdot (x+y)=\\&=x\cdot x+x\cdot y+y\cdot x+y\cdot y=\\&=x\cdot y+y\cdot x\\\end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle 2=1+1}$ в кольце не является делителем нуля , тогда тождество ${\displaystyle x\cdot x=0}$ само следует из ${\displaystyle x\cdot y+y\cdot x=0}$ и они оказываются равносильны; но в общем случае это не так (например, в алгебрах над полем характеристики 2 первое тождество сильнее второго).

Понятие возникло в связи с алгебрами Ли , в которых умножение удовлетворяет тождеству ${\displaystyle x\cdot y=-y\cdot x}$ (как и ${\displaystyle x^{2}=0}$ ). Классический пример антикоммутативной операции — векторное произведение , для которого ${\displaystyle x\times y=-y\times x}$ (в отличие от коммутативного скалярного произведения ).

Некоторые антикоммутативные алгебры : алгебры Мальцева , алгебра внешних форм , алгебра дифференцирований дифференциальных форм , алгебра тангенциальнозначных форм .

Умножение в градуированной алгебре ${\displaystyle \Omega =\oplus _{i}\Omega ^{i}}$ называется градуированно антикоммутативным , если для любых элементов ${\displaystyle \omega _{m}\in \Omega ^{m}}$ , ${\displaystyle \omega _{k}\in \Omega ^{k}}$ выполнено:

${\displaystyle \omega _{m}\cdot \omega _{k}+(-1)^{mk+1}\omega _{k}\cdot \omega _{m}=0}$ .

Литература

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6 .