Interested Article - Ортогональный базис

Ортонормированный базис в 3-мерном евклидовом пространстве

Ортогона́льный (ортонорми́рованный) ба́зис ортогональная ( ортонормированная ) система элементов линейного пространства со скалярным произведением , обладающая свойством полноты .

Конечномерный случай

Мнемоническое правило для определения ориентации базиса. Слева — левоориентированный базис, справа — правоориентированный.

Ортогональный базис базис , составленный из попарно ортогональных векторов . Ортонормированный базис удовлетворяет ещё и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера :

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( ), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным ( дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:

можно найти так:

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля : для любого вектора квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов гильбертова пространства такая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

называемого рядом Фурье элемента по системе .

Часто базис выбирается так, что , и тогда он называется ортонормированным базисом . В этом случае числа , называются коэффициентами Фурье элемента по ортонормированному базису , имеют вид

.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система была базисом, является равенство Парсеваля .

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным , и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел такая, что , то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом ряд — сходится по норме к некоторому элементу . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству ( теорема Рисса — Фишера).

Примеры

  • Стандартный базис в n-мерном евклидовом пространстве R n является ортонормированным.
  • Множество образует ортонормированный базис в .

Литература

  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.


См. также

Источник —

Same as Ортогональный базис