Пространство столбцов (также образ , область значений ) матрицы ${\displaystyle A}$ — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций ) её вектор-столбцов . Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения .

Пусть ${\displaystyle \mathbb {F} }$ — некоторое поле . Пространство столбцов матрицы размера ${\displaystyle m\times n}$ с компонентами из ${\displaystyle \mathbb {F} }$ является линейным подпространством координатного пространства ${\displaystyle \mathbb {F} ^{m}}$ . Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит ${\displaystyle \min(m,n)}$ . Понятие для матриц заданных над кольцом ${\displaystyle \mathbb {K} }$ .

Пространство строк определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы над вещественными числами , то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ соответственно .

Обзор

Пусть ${\displaystyle A}$ — матрица размера ${\displaystyle m\times n}$ .Тогда имеют место такие утверждения про её ранг ${\displaystyle \operatorname {rank} A}$ , где ${\displaystyle \operatorname {rowsp} A}$ и ${\displaystyle \operatorname {colsp} A}$ — её пространства столбцов и строк соответственно:

1. ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\dim \operatorname {rowsp} A=\dim \operatorname {colsp} A}$ ,
2. ${\displaystyle \operatorname {rank} A}$ равен числу опорных элементов в любом ступенчатом виде ${\displaystyle A}$ ,
3. ${\displaystyle \operatorname {rank} A}$ равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов матрицы ${\displaystyle A}$ .

Пространство столбцов матрицы ${\displaystyle A}$ совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов ${\displaystyle A}$ . То есть, если ${\displaystyle A=[a_{1},\dots ,a_{n}]}$ , то ${\displaystyle \operatorname {colsp} A=\operatorname {span} \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$ , где ${\displaystyle \operatorname {span} S}$ — линейная оболочка ${\displaystyle S}$ .

Действие матрицы ${\displaystyle A}$ на некоторый вектор ${\displaystyle x}$ может быть представлено как линейная комбинация столбцов ${\displaystyle A}$ с коэффициентами, соответствующими координатам ${\displaystyle x}$ . Значит, ${\displaystyle Ax}$ всегда лежит в ${\displaystyle \operatorname {colsp} A}$ . Таким образом, если рассматривать матрицу как линейное отображение из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ , то пространство столбцов матрицы будет соответствовать образу данного отображения.

Концепция пространства столбцов может быть обобщена на матрицы, заданные над полем комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ или, в общем случае, над произвольным полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$ .

Пример

Дана матрицы ${\displaystyle J}$ :

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}}$

Её строки:

• ${\displaystyle r_{1}=[2,4,1,3,2]}$ ,
• ${\displaystyle r_{2}=[-1,-2,1,0,5]}$ ,
• ${\displaystyle r_{3}=[1,6,2,2,2]}$ ,
• ${\displaystyle r_{4}=[3,6,2,5,1]}$ .

Следовательно, пространство строк матрицы ${\displaystyle J}$ это подпространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$ , заданное как ${\displaystyle \operatorname {span} \{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}\}}$ . Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки линейно независимы . Кроме того, в данном случае все строки ортогональны вектору ${\displaystyle n=[6,-1,4,-4,0]}$ , из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$ , которые ортогональны вектору ${\displaystyle n}$ .

Пространство столбцов

Определение

Пусть ${\displaystyle \mathbb {K} }$ — некоторое поле скаляров , над которым задана матрица ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle m\times n}$ со столбцами ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ . Линейная комбинация этих векторов — это любой вектор вида:

${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},}$

Где ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$ — скаляры. Множество всех возможных комбинаций ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ называется пространством столбцов ${\displaystyle A}$ . То есть, пространство столбцов ${\displaystyle A}$ — это линейная оболочка векторов ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ .

Любая линейная комбинация столбцов матрицы ${\displaystyle A}$ может быть записана как умножение матрицы ${\displaystyle A}$ на некоторый вектор-столбец:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+&\cdots &+c_{n}a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}a_{m1}+&\cdots &+c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}}$

Таким образом, пространство столбцов ${\displaystyle A}$ состоит из всех возможных произведений ${\displaystyle Ax}$ , где ${\displaystyle x\in \mathbb {K} ^{n}}$ , что то же самое, что образ (или область значений ) соответствующего отображения .

Пример

Если ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}}$ , то её столбцы это ${\displaystyle v_{1}=[1,0,2]^{T}}$ и ${\displaystyle v_{2}=[0,1,0]^{T}}$ .

Линейная комбинация ${\displaystyle v_{1}}$ и ${\displaystyle v_{2}}$ — это любой вектор, имеющий следующий вид:

${\displaystyle c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}\,}$ Множество всех таких векторов образует пространство столбцов ${\displaystyle A}$ . В данном случае пространство столбцов это в точности множество векторов ${\displaystyle [x,y,z]\in \mathbb {R} ^{3}}$ , удовлетворяющих уравнению ${\displaystyle z=2x}$ .

В декартовой системе координат это множество соответствует некоторой плоскости , проходящей через начало отсчёт в трёхмерном пространстве .

Базис

Столбцы матрицы ${\displaystyle A}$ порождают пространство столбцов, но они могут не образовывать базис если столбцы не линейно независимы . К счастью, элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейные зависимости между столбцами. Это позволяет находить базис в пространстве столбцов методом Гаусса .

Например, дана такая матрица:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}{\text{.}}}$

Столбцы этой матрицы не линейно независимы , что значит, что базис образует некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём ${\displaystyle A}$ к ступенчатому виду по строкам :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, в то время как третий является линейной комбинацией первых двух (точнее, ${\displaystyle v_{3}=-2v_{1}+v_{2}}$ ). Поэтому первый, второй и четвёртый столбцы образуют базис в пространстве столбцов:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}{\text{.}}}$

Стоит обратить внимание, что независимые столбцы это в точности столбцы, содержащие ведущие элементы, что позволяет сводить задачу поиска базиса в множестве столбцов к приведению матрицы к ступенчатому виду .

Алгоритм выше может быть использован для поиска зависимостей и нахождения базиса в любом множестве векторов. Также нахождение базиса пространства столбцов ${\displaystyle A}$ эквивалентно нахождению оного для пространства строк транспонированной матрицы ${\displaystyle A^{T}}$ . На практике (например, при работе с большими матрицами) для нахождения базиса обычно используется сингулярное разложение .

Размерность

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в ступенчатом виде матрицы, а также наибольшему числу её линейно независимых столбцов. Например, ранг матрицы выше равен ${\displaystyle 3}$ .

Так как пространство столбцов это образ соответствующего отображения , ранг матрицы равен размерности образа. Например, для отображения ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}}$ заданного матрицей выше отображает ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ в некоторое трёхмерное подпространство .

Размерность ядра матрицы равна числу столбцов, которые не содержат ведущих элементов . Ранг и размерность ядра матрицы ${\displaystyle A}$ c ${\displaystyle n}$ столбцами связаны уравнением:

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\dim \ker(A)=n.\,}$

Связь с коядром

Коядро ( левый аннулятор ) матрицы ${\displaystyle A}$ это множество векторов ${\displaystyle \mathbf {x} }$ таких что ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}A=0^{T}}$ . Коядро матрицы ${\displaystyle A}$ совпадает с ядром ${\displaystyle A^{T}}$ . Произведение ${\displaystyle A^{T}}$ на ${\displaystyle \mathbf {x} }$ может быть записано в виде скалярных произведений векторов

${\displaystyle A^{T}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}$

Потому что строки ${\displaystyle A^{T}}$ являются транспонированными столбцами ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ матрицы ${\displaystyle A}$ . Поэтому ${\displaystyle A^{T}\mathbf {x} =0}$ тогда и только тогда когда ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ортогонален ко всем столбцам ${\displaystyle A}$ .

Отсюда следует, что коядро ${\displaystyle A}$ (ядро ${\displaystyle A^{T}}$ ) — это ортогональное дополнение к пространству столбцов ${\displaystyle A}$ .

Для матрицы над кольцами

Аналогичным образом пространство столбцов (иногда с уточнением как правое пространство столбцов) может быть определено для матриц над кольцом ${\displaystyle \mathbb {K} }$ как:

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}}$

Где ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {K} }$ . Координатное пространство при этом меняется на правый свободный модуль , что также меняет порядок в умножении на скаляр вектора ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ на скаляр ${\displaystyle c_{k}}$ таким образом, что они записываются в порядке вектор-скаляр .

См. также

• Евклидово пространство

Примечания

Литература

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (June 6, 2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics (1st ed.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields , Boston: , ISBN 0-395-14017-X
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), , Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8 , Архивировано из 1 марта 2001 от 31 октября 2009 на Wayback Machine
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Гилберт Стрэнг , на Google Video от MIT OpenCourseWare