Изолированная особая точка ${\displaystyle z_{0}}$ функции ${\displaystyle f(z)}$ , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, называется существенно особой , если предел ${\textstyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)}$ не существует.

Критерий существенно особой точки

Точка ${\displaystyle z_{0}}$ является существенной особой точкой функции ${\displaystyle f(z)}$ тогда и только тогда, когда в разложении функции ${\displaystyle f(z)}$ в ряд Лорана в проколотой окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$ главная часть содержит бесконечное число отличных от нуля членов, то есть в разложении ${\displaystyle f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}}$ число коэффициентов ${\displaystyle f_{k}\neq 0}$ , ${\displaystyle k<0}$ , бесконечно.

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

Каким бы ни было комплексное число ${\displaystyle B}$ , для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ в любой окрестности существенно особой точки ${\displaystyle z_{0}}$ найдется точка ${\displaystyle z}$ , такая, что ${\displaystyle |f(z)-B|<\varepsilon }$ .

См. также

Другие типы изолированных особых точек:

• Устранимая особая точка
• Полюс

Литература

• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
• Шабат Б. В. , Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.