Тео́рия мно́жеств — раздел математики , в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда , привнесла в математику новое понимание природы бесконечности , была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой , однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов , поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств . В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств , обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств .

Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии , общей алгебры , функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики . В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стал широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах. Однако использование теории множеств для логически безупречного построения математических теорий осложняется тем, что она сама нуждается в обосновании своих методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности, при переходе на точку зрения общей теории множеств приобретают лишь бо́льшую остроту .

Начиная со второй половины XX века представление о значении теории и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования её аппарата, в частности, с использованием теоретико-категорного инструментария (средствами которого в теории топосов обобщены практически все варианты теории множеств). Тем не менее нотация теории множеств стала общепринятой во всех разделах математики вне зависимости от использования теоретико-множественного подхода. На идейной основе теории множеств в конце XX века создано несколько обобщений , в том числе теория нечётких множеств , теория мультимножеств (используемые в основном в приложениях), (развиваемая в основном чешскими математиками).

Ключевые понятия теории : множество (совокупность объектов произвольной природы), отношение принадлежности элементов множествам, подмножество , операции над множествами , отображение множеств , взаимно-однозначное соответствие , мощность ( конечная , счётная , несчётная ), трансфинитная индукция .

История

Предпосылки

Множества, в том числе и бесконечные, в неявной форме фигурировали в математике со времён Древней Греции : например, в том или ином виде рассматривались отношения включения множеств всех рациональных , целых , натуральных , нечётных, простых чисел . Зачатки идеи о равномощности множеств встречаются у Галилея : рассуждая о соответствии между числами и их квадратами , он обращает внимание на неприменимость аксиомы «целое больше части» к бесконечным объектам ( парадокс Галилея ) .

Первое представление об актуально бесконечном множестве относят к работам Гаусса начала 1800-х годов, опубликованным в его « Арифметических исследованиях » , в которых, вводя сравнения на множестве рациональных чисел, он обнаруживает классы эквивалентности ( классы вычетов ) и разбивает всё множество на эти классы, отмечая их бесконечность и взаимное соответствие, рассматривает бесконечное множество решений ${\displaystyle ax+b\equiv 0{\pmod {n}}}$ как единую совокупность, классифицирует бинарные квадратичные формы ( ${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$ ) в зависимости от определителя и рассматривает этот бесконечный набор классов как бесконечные совокупности объектов нечисловой природы, предполагает возможность выбирать из классов эквивалентностей по одному объекту-представителю всего класса : использует методы, характерные для теоретико-множественного подхода, не использовавшиеся явно в математике до XIX века. В более поздних работах Гаусс, рассматривая совокупность комплексных чисел с рациональными вещественной и мнимой частью, говорит о вещественных, положительных, отрицательных, чисто мнимых целых числах как её подмножествах . Однако бесконечные множества или классы как самостоятельные объекты исследования Гауссом явно не выделялись, более того, Гауссу принадлежат высказывания против возможности использования актуальной бесконечности в математических доказательствах .

Более отчётливое представление о бесконечных множествах проявляется в работах Дирихле , в курсе лекций 1856—1857 годов , построенном на основе гауссовых «Арифметических исследований». В работах Галуа , Шёмана и Серре по теории функциональных сравнений 1820—1850-х годов также намечаются элементы теоретико-множественного подхода, которые обобщил Дедекинд в 1857 году, явно сформулировавший в качестве одного из выводов необходимость рассмотрения целой системы бесконечно многих сравнимых чисел как единого объекта, общие свойства которого равным образом присущи всем его элементам, а систему бесконечно многих несравнимых классов уподобляет ряду целых чисел . Отдельные понятия теории множеств можно встретить в трудах Штейнера и Штаудта 1830—1860-х годов по проективной геометрии : практически весь предмет в значительной степени зависит от представления о взаимно-однозначном соответствии , ключевом для теории множеств, однако в проективной геометрии на такие соответствия накладывались дополнительные ограничения (сохранение некоторых геометрических соотношений ). В частности, Штейнер явно вводит понятие несчётного множества для множества точек на прямой и множества лучей в пучке и оперирует с их несчётными подмножествами, а в работе 1867 года вводит понятие мощности как характеристики множеств, между которыми возможно установить проективное соответствие (Кантор позднее указывал, что заимствовал само понятие и термин у Штейнера, обобщив проективное соответствие до взаимно-однозначного) .

Наиболее близкие к наивной теории множеств Кантора представления содержатся в трудах Больцано , прежде всего, в работе , опубликованной после смерти автора в 1851 году , в которой рассматриваются произвольные числовые множества, и для их сравнения явно определено понятие взаимно-однозначного соответствия , и сам термин «множество» ( нем. menge ) также впервые систематически использован в этой работе. Однако, работа Больцано носит в большей степени философский характер, нежели математический, в частности, в ней нет чёткого разграничения между мощностью множества и понятием величины или порядка бесконечности, и сколь-нибудь формальной и целостной математической теории в этих представлениях нет . Наконец, теории вещественного числа Вейерштрасса , Дедекинда и Мерэ , созданные в конце 1850-х годов и опубликованные в начале 1860-х во многом перекликаются с идеями наивной теории множеств в том смысле, что рассматривают континуум как множество, образованное из рациональных и иррациональных точек .

Наивная теория множеств

Основным создателем теории множеств в наивном её варианте является немецкий математик Георг Кантор , к созданию абстракции точечного множества подтолкнули работы 1870—1872 годов по развитию теории тригонометрических рядов (продолжавшие труды Римана ), в которых вводит понятие предельной точки , близкое к современному и пытается с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные) . Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в 1873 году Кантор обнаруживает счётность множества рациональных чисел и вопрос о равномощности множеств целых и вещественных чисел (последний результат публикует в 1874 году по настоянию Вейерштрасса . В 1877 году Кантор доказывает взаимно-однозначное соответствие между ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (для любого ${\displaystyle n>0}$ ). Первыми результатами Кантор делится в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с 1879 года вплоть до 1884 года публикует шесть статей в Mathematische Annalen с результатами исследований бесконечных точечных множеств .

В 1877 году Дедекинд публикует статью «О числе классов идеалов конечного поля», в которой явно в символическом виде оперирует с множествами — полями , модулями , идеалами , кольцами , и использует для них отношение включения (используя знаки «<» и «>»), операции объединения (со знаком «+») и пересечения (с инфиксом «−»), и, кроме того, фактически приходит к алгебре множеств, указывая на двойственность операций объединения и пересечения, в обозначениях Дедекинда:

${\displaystyle (A+B)-(A+C)=A+(B-(A+C))}$ ,

${\displaystyle (A-B)+(A-C)=A-(B+(A-C))}$ ,

в последующих своих работах многократно используя этот результат . В публикации 1878 года о равномощности континуумов разного числа измерений, Кантор использует теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие мощности множества , доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля алгебраических чисел предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ ( , , Нетто ) с неудачными попытками доказательства невозможности одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей (точное доказательство этого факта дал Брауэр в 1911 году).

В 1880 году Кантор формулирует две ключевых идеи теории множеств — понятие о пустом множестве и метод трансфинитной индукции . Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: Вольтерра , Дюбуа-Реймон , Бендиксон , Гарнак , в основном в связи с вопросами об интегрируемости функций . В работе 1883 года Кантор даёт исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия совершенного множества и плотности множества (отличающиеся от современных, используемых в общей топологии , но принципиально сходных с ними), а также строит классический пример нигде не плотного совершенного множества (известный как канторово множество ) , а также в явном виде формулирует континуум-гипотезу (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках ZFC показана Коэном в 1963 году ).

С 1885—1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет публикует лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?» (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как арифметика Пеано ) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности — для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована теорема Кантора — Бернштейна , изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций . Шрёдер в 1895 году обращает внимание на совпадение алгебры множеств и исчисления высказываний , тем самым устанавливая глубокую связь между математической логикой и теорией множеств.

В 1895—1897 годы Кантор публикует цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств .

С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были Герман Шварц и, в наибольшей степени, Леопольд Кронекер , полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих» ). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии . Тем не менее к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады Адамара и Гурвица на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе ( 1897 ), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в анализе , а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе Гильбертом .

Парадоксы

Размытость понятия множества в наивной теории, при которой допускалось построение множеств лишь по признаку сбора всех объектов, обладающих каким-либо свойством, привела к тому, что в период 1895—1925 годов была обнаружена значительная серия противоречий, внесшая серьёзные сомнения в возможность использования теории множеств как фундаментального инструмента, ситуация получила известность как « кризис оснований математики » .

Противоречие, к которому приводит рассмотрение множества всех порядковых чисел впервые обнаружено Кантором в 1895 году , переоткрыто и впервые опубликовано ( итал. ) в 1897 году , и стало известно как парадокс Бурали-Форти . В 1899 году в письме Дедекинду Кантор впервые говорит о противоречивости универсума как множества всех множеств, так как множество всех его подмножеств должно было бы быть равномощно самому себе, не удовлетворяя принципу ${\displaystyle {\mathfrak {m}}<2^{\mathfrak {m}}}$ , впоследствии эта антиномия стала известна как парадокс Кантора . В дальнейшей переписке Кантор предложил рассматривать собственно множества ( нем. mengen ), которые могут быть мыслимы как единый объект, и «многообразия» ( vielheiten ) для сложных конструкций, в том или ином виде эта идея нашла отражения в некоторых поздних аксиоматизациях и обобщениях .

Наиболее значительным противоречием, повлиявшим на дальнейшее развитие теории множеств и оснований математики в целом стал парадокс Рассела , обнаруженный около 1901 года Бертраном Расселом и опубликованный в 1903 году в монографии « Основания математики ». Суть парадокса в противоречии при рассмотрении вопроса о принадлежности самому себе множества всех множеств, не включающих себя. Кроме того, примерно к тому же времени относится обнаружение таких антиномий как парадокс Ришара , парадокс Берри и парадокс Греллинга — Нельсона , показывающих противоречия при попытках использования самореференции свойств элементов при построении множеств.

В результате осмысления возникших парадоксов в сообществе математиков возникло два направления по разрешению возникших проблем: формализация теории множеств посредством подбора системы аксиом , обеспечивающей непротиворечивость при сохранении инструментальной мощи теории, второе — исключение из рассмотрения всех не поддающихся интуитивному осмыслению конструкций и методов. В рамках первого направления, начатого Цермело , Гильбертом , Бернайсом , Хаусдорфом , было создано несколько вариантов аксиоматической теории множеств и за счёт довольно искусственных ограничений преодолены основные противоречия. Второе направление, основным выразителем которого был Брауэр , породило новое направление в математике — интуиционизм , и в той или иной мере оно было поддержано Пуанкаре , Лебегом , Борелем , Вейлем .

Аксиоматические теории множеств

Первую аксиоматизацию теории множеств в 1908 году опубликовал Цермело , центральную роль в исключении парадоксов в этой системе должна была сыграть «аксиома селекции» ( нем. Aussonderung ), согласно которой от свойства ${\displaystyle P(x)}$ только тогда можно образовать множество ${\displaystyle \{x\mid P(x)\}}$ , если из ${\displaystyle P(x)}$ следует отношение вида ${\displaystyle x\in A}$ . В 1922 году благодаря работам Скулема и Френкеля система на базе аксиом Цермело была окончательно сформирована, включив аксиомы объёмности , существования пустого множества , пары , , степени , бесконечности и с вариантами с аксиомой выбора и без неё. Эти аксиоматики получили наибольшее распространение и известны как теория Цермело — Френкеля , система с аксиомой выбора обозначается ZFC, без аксиомы выбора — ZF.

Особая роль аксиомы выбора связана с её интуитивной неочевидностью и заведомым отсутствием эффективного способа определения множества, собранного из элементов семейства. В частности Борель и Лебег считали, что доказательства, полученные с её применением, имеют другую познавательную ценность, нежели доказательства, независимые от неё, тогда как Гильберт и Хаусдорф принимали её безоговорочно, признавая за ней не меньшую степень очевидности, что и за другими аксиомами ZF .

Другой получивший распространение вариант аксиоматизации теории множеств был разработан фон Нейманом в 1925 году , формализован в 1930-е годы Бернайсом , и упрощён Гёделем в 1940 году (в работе по доказательству независимости континуум-гипотезы от аксиомы выбора), окончательный вариант получил известность как система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя и обозначение NBG .

Существует ряд прочих аксиоматизаций, среди них (MK), , .

Дескриптивная теория множеств

В начале XX века в работах Лебега , Бэра , Бореля исследованы вопросы измеримости множеств . На основе этих работ в 1910—1930 годы разработана теория дескриптивных множеств , систематически изучающая внутренние свойства множеств, построенных теоретико-множественными операциями из объектов относительно простой природы — открытых и замкнутых множеств евклидова пространства , метрических пространств , метризуемых топологических пространств со счётной базой . Основной вклад в создание теории внесли Лузин , Александров , Суслин , Хаусдорф . С 1970-х годов разрабатываются обобщения дескриптивной теории множеств на случай более общих топологических пространств .

Основные понятия

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение принадлежности множества (обозначается как ${\displaystyle x\in A}$ — « ${\displaystyle x}$ есть элемент множества ${\displaystyle A}$ », « ${\displaystyle x}$ принадлежит множеству ${\displaystyle A}$ »). Пустое множество , обычно обозначается символом ${\displaystyle \varnothing }$ — множество, не содержащее ни одного элемента. Подмножество и надмножество — соотношения включения одного множества в другое (обозначаются соответственно ${\displaystyle A\subseteq B}$ и ${\displaystyle A\supseteq B}$ для нестрогого включения и ${\displaystyle A\subset B}$ и ${\displaystyle A\supset B}$ — для строгого).

Над множествами определены следующие операции:

• объединение , обозначается как ${\displaystyle A\cup B}$ — множество, содержащее все элементы из ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ ,
• разность , обозначается как ${\displaystyle A\setminus B}$ , реже ${\displaystyle A-B}$ — множество элементов ${\displaystyle A}$ , не входящих в ${\displaystyle B}$ ,
• дополнение , обозначается как ${\displaystyle \setminus A}$ или ${\displaystyle -A}$ — множество всех элементов, не входящих в ${\displaystyle A}$ (в системах, использующих универсальное множество ),
• пересечение , обозначается как ${\displaystyle A\cap B}$ — множество из элементов, содержащихся как в ${\displaystyle A}$ , так и в ${\displaystyle B}$ ,
• симметрическая разность , обозначается как ${\displaystyle A\bigtriangleup B}$ , реже ${\displaystyle A\;\;\!\!{\dot {-}}\;\;\!\!B}$ — множество элементов, входящих только в одно из множеств — ${\displaystyle A}$ или ${\displaystyle B}$ .

Объединение и пересечение также часто рассматривают над семействами множеств, обозначаются ${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}}$ и ${\displaystyle \bigcap {\mathfrak {A}}}$ и составляют, соответственно, объединение всех множеств, входящих в семейство ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ и пересечение всех множеств, входящих в семейство.

Объединение и пересечение коммутативны , ассоциативны и идемпотентны . В зависимости от выбора системы аксиом и наличия дополнения алгебра множеств (относительно объединения и пересечения) может образовывать , дистрибутивную решётку, булеву алгебру . Для визуализации операций над множествами используются диаграммы Венна .

Декартово произведение множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — множество всех упорядоченных пар элементов из ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ : ${\displaystyle A\times B=\{(x,y)\mid x\in A\land y\in B\}}$ . Отображение ${\displaystyle f}$ множества ${\displaystyle A}$ в множество ${\displaystyle B}$ теории множеств рассматривается как бинарное отношение — подмножество ${\displaystyle A\times B}$ — с условием единственности соответствия первого элемента второму: ${\displaystyle (x,y)\in f\Rightarrow \forall z\neq y((x,z)\notin f)}$ .

Множество подмножеств — множество всех подмножеств данного множества, обозначается ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ или ${\displaystyle 2^{A}}$ (так как соответствует множеству отображений из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle \mathbf {2} =\{0,1\}}$ ).

Мощность множества (кардинальное число) — характеристика количества элементов множества, формально определяется как класс эквивалентности над множествами, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, обозначается ${\displaystyle |A|}$ или ${\displaystyle \sharp A}$ . Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств — целое число, равное количеству элементов. Над кардинальными числами, в том числе характеризующими бесконечные множества, можно установить отношение порядка , мощность счётного множества обозначается ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ( алеф — первая буква еврейского алфавита), является наименьшей из мощностей бесконечных множеств, мощность континуума обозначается ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ или ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ , континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.

Если кардинальное число характеризует класс эквивалентности множеств относительно возможности установить взаимно-однозначное соответствие, то порядковое число (ординал) — характеристика классов эквивалентности вполне упорядоченных множеств относительно биективных соответствий, сохраняющих отношение полного порядка. Строятся ординалы посредством введения арифметики порядковых чисел (с операциями сложения и умножения), порядковое число конечных множеств совпадает с кардиналом (обозначается соответствующим натуральным числом), порядковое число множества всех натуральных чисел с естественным порядком обозначается как ${\displaystyle \omega }$ , далее конструируются числа:

${\displaystyle \omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots \omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots ,}$ ,

после чего вводятся ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ -числа :

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}}$ .

Множество всех ${\displaystyle \omega }$ - и ${\displaystyle \varepsilon }$ -чисел — счётных ординалов — обладает мощностью ${\displaystyle \aleph _{1}}$ .

Обобщения

Средствами теории категорий , зачастую противопоставляемой теории множеств и с инструментальной, и с дидактической точек зрения, Ловер и ( англ. Miles Tierney ) в 1970 году создали теорию топосов , изучаемый ею объект — элементарный топос — построен по принципу схожести с поведением множеств в теоретико-множественном понимании, элементарными топосами удалось представить практически все варианты теории множеств.

Теория нечётких множеств — расширение теории множеств, предложенное в 1960-х годах Лотфи Заде в рамках концепции нечёткой логики , в нечёткой теории вместо отношения принадлежности элементов к множеству рассматривается функция принадлежности со значениями в интервале ${\displaystyle [0,1]}$ : элемент чётко не принадлежит множеству если функция его принадлежности равна нулю, чётко принадлежит — если единице, в остальных случаях отношение принадлежности считается нечётким. Применяется в теории информации , кибернетике , информатике .

Теория мультимножеств , в применении к теории сетей Петри называемая теорией комплектов, рассматривает в качестве основного понятия наборы элементов произвольной природы, в отличие от множества, допускающие присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента, отношение включения в этой теории заменено функцией числа экземпляров: ${\displaystyle \sharp (a,A)}$ — целое число вхождений элемента ${\displaystyle a}$ в мультимножество ${\displaystyle A}$ , при объединении комплектов число экземпляров элементов берётся по максимуму вхождений ( ${\displaystyle \sharp (a,A_{1}\cup A_{2})=\max(\sharp (a,A_{1}),\sharp (a,A_{2})}$ ), при пересечении — по минимуму ( ${\displaystyle \sharp (a,A_{1}\cap A_{2})=\min(\sharp (a,A_{1}),\sharp (a,A_{2})}$ ) . Используется в теоретической информатике , искусственном интеллекте , теории принятия решений .

— теория, развиваемая чехословацкими математиками с 1970-х годов, в основном в работах ( чеш. ) , основывающаяся на чёткой формализации множества как объекта, индуктивно построимого из пустого множества и заведомо существующих элементов, для свойств объектов, допускающих рассмотрения их в целой совокупности, вводится понятие классов, а для изучения подклассов множеств используется концепция .

В культуре

В 1960—1970-е годы в рамках теории музыки была создана собственная , предоставляющая средства чрезвычайно обобщённого описания музыкальных объектов ( звуков с их высотами , динамикой , длительностью ), взаимоотношения между ними и операции над их группами (такими как транспозиция , обращение ). Однако связь с математической теорией множеств более чем опосредованная, и, скорее, терминологическая и культурная: в музыкальной теории множеств рассматриваются только конечные объекты и каких-то существенных теоретико-множественных результатов или значительных конструкций не используется; гораздо в большей степени в этой теории задействованы аппараты теории групп и комбинаторики .

Также в большей степени под культурным, нежели содержательным влиянием теории множеств немецким дизайнером ( нем. ) в 1975 году были созданы так называемые ( нем. ) (также известны как берлинские часы, нем. Berlin-Uhr ), вошедшие в Книгу рекордов Гиннесса как первое устройство, использующее пятеричный принцип для отображения времени посредством цветных светящихся индикаторов (первый и второй ряд индикаторов сверху показывает часы, третий и четвёртый — минуты; каждый светящийся индикатор соответствует пяти часам для первого ряда, одному часу для второго ряда, пяти минутам для третьего ряда и одной минуте для четвёртого ряда). Часы установлены в берлинском торгово-офисном комплексе Europa-Center .

Примечания

Литература

• / В. Г. Кановей // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Н. Бурбаки . Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М. : Издательство иностранной литературы , 1963. — С. 37—53. — 292 с. — (Элементы математики).
• Г. Кантор. Труды по теории множеств. — М. : Наука, 1985. — 430 с. — (Классики науки). — 3450 экз. .
• П. Дж. Коэн . (рус.) = P. J. Cohen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. 13 :1 (1971), 9–15. // Успехи математических наук / Ю. И. Манин (перевод). — М. , 1974. — Т. XXIX , вып. 5 (179) . — С. 169—176 . — ISSN .
• К. Куратовский , А. Мостовский . Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М. : Мир, 1970. — 416 с.
• Ф. А. Медведев . Развитие теории множеств в XIX веке. — М. : Наука, 1965. — 232 с. — 2500 экз.
• А. Френкель , И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина . — М. : Мир, 1966. — 556 с.