Операторная норма — норма определённая на ограниченных линейных операторах из одного нормированного пространства в другое. Также называется операторной , подчинённой или индуцированной нормой .

Операторная норма превращает само линейное пространство операторов в нормированное пространство. Соответственная структура линейного топологического пространства операторов называется топологией нормы , или операторной топологией (без ).

Определение и обозначения

В дальнейшем через K будет обозначено основное поле , являющееся нормированным полем . Обычно K = ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или K = ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Пусть V ₁ и V ₂ — два нормированных линейных пространства над K и T — линейный оператор из V ₁ в V ₂ . Если существует такое неотрицательное число M , что

${\displaystyle \forall x\in V_{1}:\|Tx\|\leqslant M\|x\|,}$

то оператор T называется ограниченным , а наименьшее такое возможное M — его нормой ‖ T ‖ . Если V ₁ конечномерно , то всякий оператор ограничен.

Норма оператора T может быть вычислена по формуле :

${\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in V_{1},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in V_{1},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}}$

Если пространство V ₁ состоит из одного нуля , то приведённая формула не работает, но ‖ T ‖ = 0 поскольку T = 0 .

Линейное пространство ограниченных операторов из V ₁ в V ₂ обозначается ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ . В случае когда ${\displaystyle V_{1}=V_{2}=V}$ пишут ${\displaystyle L(V)}$ вместо ${\displaystyle L(V,V)}$ . Если ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство , то иногда пишут ${\displaystyle B(H)}$ вместо ${\displaystyle L(H)}$ .

Свойства

Ограниченность и непрерывность

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда ^{[ источник не указан 3615 дней ]} и только тогда, когда он непрерывен .

Норма

На ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ можно ввести структуру векторного пространства с операциями ${\displaystyle (T+S)x=Tx+Sx}$ и ${\displaystyle T(\alpha x)=\alpha (Tx)}$ , где ${\displaystyle T,S\in L(V_{1},V_{2})}$ , ${\displaystyle x\in V_{1}}$ , а ${\displaystyle \alpha \in K}$ — произвольный скаляр. Операторная норма делает линейное пространство ограниченных операторов нормированным пространством , то есть удовлетворяет соответственным аксиомам:

• ${\displaystyle \|T\|\geqslant 0}$ (по определению)
• ${\displaystyle \|T\|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle T=0}$ (следует из определения нормированного пространства)
• ${\displaystyle \|\alpha T\|=|\alpha |\|T\|}$ для всех ${\displaystyle \alpha }$ из ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle \|S+T\|\leqslant \|S\|+\|T\|}$ для всех ограниченных операторов ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ из V ₁ в V ₂ .

Субмультипликативность

Если S — оператор из V ₂ в V ₃ , а T — оператор из V ₁ в V ₂ , то их произведение S T определяется как композиция функций S ∘ T . Операторная норма удовлетворяют свойству субмультипликативности :

${\displaystyle \|ST\|\leq \|S\|\|T\|}$ .

В случае V ₁ = V ₂ = V , ограниченные операторы можно перемножать не выходя из пространства ${\displaystyle L(V)}$ , и потому операторная норма превращает операторную алгебру ${\displaystyle L(V)}$ в нормированную алгебру .

Полнота

Пространство ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ является банаховым тогда и только тогда, когда V ₁ нульмерно или V ₂ банахово.

Если V — банахово пространство, то ${\displaystyle L(V)}$ с умножением является банаховой алгеброй .

Примеры использования

Между конечномерными пространствами

Операторные нормы (для различных норм на векторах) составляют важный класс возможных норм на пространствах матриц .

На гильбертовых пространствах

Алгебра ограниченных операторов ${\displaystyle L(H)}$ (на гильбертовом пространстве H ) с операторной нормой является C*-алгеброй с операцией инволюции, задаваемой эрмитовым сопряжением . При этом, алгебра компактных операторов является её замкнутой *-подалгеброй и даже идеалом .

Сравнения

Операторной нормы с другими нормами

На операторах на гильбертовом пространстве определены и другие, более сильные, нормы, например норма Гильберта — Шмидта . В бесконечномерном случае, такие нормы не определены (бесконечны) на некоторых ограниченных операторах.

Топологии нормы с другими

В конечномерном случае (когда оба пространства V ₁ и V ₂ конечномерны), ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ тоже конечномерно и все топологии (и нормы) на таком линейном пространстве эквивалентны. Однако, когда оба пространства V ₁ и V ₂ бесконечномерны, на ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ возможны более слабые (грубые) топологии :

• ; название вводит в заблуждение, так как она слабее (грубее) топологии нормы.
• ; ещё слабее (грубее).

Литература

• Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. М.: Факториал, 1997. 336с. ISBN 5-88688-016-X
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М. : Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3 .

Примечания