Инъективная функция.
Инъе́кция
(
инъекти́вное отображе́ние
) в
математике
—
отображение
f
{\displaystyle f}
множества
X
{\displaystyle X}
во множество
Y
{\displaystyle Y}
(
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
), при котором разные
элементы множества
X
{\displaystyle X}
переводятся в разные элементы множества
Y
{\displaystyle Y}
, то есть если два
образа
при отображении совпадают, то и
прообразы
совпадают:
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
)
⇒
x
1
=
x
2
{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}}
.
Инъекцию также называют
вложением
, или
одно-однозначным отображением
(в отличие от
биекции
, которая
взаимно однозначна
). В отличие от
сюръекции
, про которую говорят, что она отображает одно множество
на
другое, об инъекции
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
аналогичная фраза формулируется как
отображение
X
{\displaystyle X}
в
Y
{\displaystyle Y}
.
Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует
левое обратное
, то есть
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
инъективно, если существует
g
:
Y
→
X
{\displaystyle g\colon Y\to X}
, при котором
композиция
g
∘
f
=
id
X
{\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}
.
Понятие инъекции (наряду с
сюръекцией
и
биекцией
) введено в трудах
Бурбаки
и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.
Примеры
f
:
R
>
0
→
R
,
f
(
x
)
=
ln
x
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x}
(
натуральный логарифм
) — инъективно и сюръективно (здесь
R
>
0
{\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}
— множество
положительных чисел
).
f
:
R
+
→
R
,
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}
— инъективно (здесь
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
— множество
неотрицательных чисел
).
f
:
R
→
R
+
,
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}}
— не является инъективным, так как
f
(
−
2
)
=
f
(
2
)
=
4
{\displaystyle f(-2)=f(2)=4}
.
Применение
Обобщения
Обобщением понятия инъекции в
теории категорий
является понятие
мономорфизма
. Во многих категориях, хотя и не во всех, эти понятия эквивалентны.
Литература
Н. К. Верещагин
,
А. Шень
.
Начала теории множеств
//
.
(недоступная ссылка)
Ершов Ю. Л., Палютин Е. А.
Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. —
СПб.
: Лань, 2004. — 336 с.