Сужение функции на подмножество ${\displaystyle X}$ её области определения ${\displaystyle D\supset X}$ — функция с областью определения ${\displaystyle X}$ , совпадающая с исходной функцией на всём ${\displaystyle X}$ .

Сужение функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle f|_{X}}$ или ${\displaystyle f|X}$ . Так, для ${\displaystyle f:A\to B}$ , и ${\displaystyle X\subset A}$ , ${\displaystyle g=f|_{X}}$ означает, что ${\displaystyle g:X\to B}$ и ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ для любого ${\displaystyle x\in X}$ .

Определение

Пусть дано отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle M\subset X}$ .

Функция ${\displaystyle g\colon M\to Y}$ , которая принимает на ${\displaystyle M}$ те же значения, что и функция ${\displaystyle f}$ , называется суже́нием (или, иначе ограничением ) функции ${\displaystyle f}$ на множество ${\displaystyle M}$ .

Вариации и обобщения

• Наиболее общее определение сужения реализуется в контексте пучков ^{[ уточнить ]} .
• Для функции ${\displaystyle f:A\to B}$ рассматривают также сужение на подмножество ${\displaystyle A\times B}$

Продолжение

Если функция ${\displaystyle g\colon M\to Y}$ такова, что она является сужением для некоторой функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ , то функция ${\displaystyle f}$ , в свою очередь, называется продолжением функции ${\displaystyle g}$ на множество ${\displaystyle X}$ .

Имея некоторую функцию ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ , её можно продолжить бесконечным числом способов на множество ${\displaystyle M\supset X}$ , в том числе непрерывным образом. Однако, если функция ${\displaystyle f}$ — аналитическая функция в ${\displaystyle X}$ , то существует единственное аналитическое продолжение на ${\displaystyle M}$ .